Математический анализ Примеры

$(6 x + y^{2}) d x + y (2 x - 3) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 6 x + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x + y^{2}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $6 x + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3

Поскольку $6 x$ является константой относительно $y$ , производная $6 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Этап 1.5

Добавим $0$ и $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y (2 x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (2 x - 3)]$

Этап 2.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y (2 x - 3)$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 2.7

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + 0)$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 2$

Этап 2.8.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 2 y$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$2 y = 2 y$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (2 x - 3) d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = y (2 x - 3)$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $2 x - 3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2 x - 3$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = (2 x - 3) \int y d y$

Этап 5.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 5.3

Перепишем $(2 x - 3) (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x + y^{2}$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $y^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.3.2

Поскольку $\frac{y^{2}}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $(2 x - 3) \frac{y^{2}}{2}$ по $x$ равна $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.3.3

По правилу суммы производная $2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.3.6

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.3.7

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.3.8

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{y^{2}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.3.9

Объединим $\frac{y^{2}}{2}$ и $2$ .

$\frac{y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.3.10

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$\frac{2 \cdot y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.3.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.3.11.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

Этап 8.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} = 6 x + y^{2}$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2} - y^{2}$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $6 x + y^{2} - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $y^{2}$ из $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

Этап 9.1.2.2

Добавим $6 x$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

Этап 10

Найдем первообразную $6 x$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 6 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x d x$

Этап 10.3

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$g (x) = 6 \int x d x$

Этап 10.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 10.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Перепишем $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Этап 10.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

Этап 10.5.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

Этап 10.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

Этап 10.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Этап 10.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

Этап 10.5.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$g (x) = 3 x^{2} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

Этап 12

Упростим $f (x, y) = (2 x - 3) \frac{1}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Этап 12.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (x, y) = (2 (x) \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Этап 12.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = (2 x \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Этап 12.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = (x - 3 (\frac{1}{2})) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Этап 12.1.3

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = (x + \frac{- 3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Этап 12.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (x, y) = (x - \frac{3}{2}) y^{2} + 3 x^{2} + C$

Этап 12.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3}{2} y^{2} + 3 x^{2} + C$

Этап 12.1.6

Объединим $y^{2}$ и $\frac{3}{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{y^{2} \cdot 3}{2} + 3 x^{2} + C$

Этап 12.1.7

Перенесем $3$ влево от $y^{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Этап 12.1.8

Изменим порядок множителей в $x y^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} x - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Этап 12.1.9

Объединим $y^{2} x$ и $- \frac{3 y^{2}}{2}$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.9.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $x$ .

$f (x, y) = x y^{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Этап 12.1.9.2

Чтобы записать $x y^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = x y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Этап 12.1.9.3

Объединим $x y^{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Этап 12.1.9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Этап 12.1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.10.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2} \cdot 2 - 3 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.10.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) - 3 y^{2}}{2} + 3 x^{2} + C$

Этап 12.1.10.1.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 3 y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3}{2} + 3 x^{2} + C$

Этап 12.1.10.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} (x \cdot 2) + y^{2} \cdot - 3$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (x \cdot 2 - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

Этап 12.1.10.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} + C$

Этап 12.2

Чтобы записать $3 x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + 3 x^{2} \cdot \frac{2}{2} + C$

Этап 12.3

Объединим $3 x^{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3)}{2} + \frac{3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Этап 12.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x - 3) + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Этап 12.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = \frac{y^{2} (2 x) + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Этап 12.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x + y^{2} \cdot - 3 + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Этап 12.5.3

Перенесем $- 3$ влево от $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 \cdot y^{2} + 3 x^{2} \cdot 2}{2} + C$

Этап 12.5.4

Умножим $2$ на $3$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2} x - 3 y^{2} + 6 x^{2}}{2} + C$