Математический анализ Примеры

$2 y d x = (x^{2} + 4) d y$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$(x^{2} + 4) d y = 2 y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(x^{2} + 4) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 4) y} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $(x^{2} + 4) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 4) (y)} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(x^{2} + 4) y} (x^{2} + 4) d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 4) y} (2 y) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} d y = 2 \frac{1}{(x^{2} + 4) y} y d x$

Этап 3.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{(x^{2} + 4) y}$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{(x^{2} + 4) y} y d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $y$ из $(x^{2} + 4) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (x^{2} + 4)} y d x$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{y (x^{2} + 4)} y d x$

Этап 3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Этап 4.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Этап 4.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Этап 4.3.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Этап 4.3.3

Интеграл $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

Этап 4.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

Этап 4.3.4.2

Перепишем $2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ в виде $2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Этап 4.3.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Этап 4.3.4.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Этап 4.3.4.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Этап 4.3.4.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 1 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Этап 4.3.4.3.4

Умножим $\arctan (\frac{x}{2})$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Этап 4.3.4.4

Изменим порядок членов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

Этап 5.2

Перепишем $\ln (| y |) = \arctan (\frac{1}{2} x) + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C} = | y |$

Этап 5.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$ .

$| y | = e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

Этап 5.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $e^{\arctan (\frac{1}{2} x) + C}$ в виде $e^{\arctan (\frac{1}{2} x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\arctan (\frac{1}{2} x)} e^{C}$

Этап 6.2

Изменим порядок $e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$

Этап 6.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{\arctan (\frac{1}{2} x)}$