Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}}$ , $y (0) = π$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - x^{2}}} d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - x^{2}}}$ по $x$ имеет вид $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$y + C_{1} = \arcsin (\frac{x}{4}) + C_{2}$

Этап 2.3.3

Перепишем $\arcsin (\frac{x}{4}) + C_{2}$ в виде $\arcsin (\frac{1}{4} x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (\frac{1}{4} x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $π$ вместо $y$ в $y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$ .

$π = \arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K = π$ .

$\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K = π$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 0) + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$\arcsin (0) + K = π$

Этап 4.2.1.1.2

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$0 + K = π$

Этап 4.2.1.2

Добавим $0$ и $K$ .

$K = π$

Этап 5

Подставим $π$ вместо $K$ в $y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $π$ вместо $K$ .

$y = \arcsin (\frac{1}{4} x) + π$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$y = \arcsin (\frac{x}{4}) + π$