Математический анализ Примеры

$x^{2} d x = 3 y^{2} d y$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$3 y^{2} d y = x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 3 y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ в виде $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.3.2.3

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{3} x^{3} + K}$

Этап 3.2

Упростим $\sqrt[3]{\frac{1}{3} x^{3} + K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + K}$

Этап 3.2.2

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3}}$

Этап 3.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Объединим $K$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Этап 3.2.4

Перенесем $3$ влево от $K$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

Этап 3.2.5

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$

Этап 3.2.6

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 3.2.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 3.2.7.2

Возведем $\sqrt[3]{3}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}}$

Этап 3.2.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}}$

Этап 3.2.7.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}}$

Этап 3.2.7.5

Перепишем ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{3}$ в виде $3^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.2.7.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.2.7.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.2.7.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.2.7.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}}$

Этап 3.2.7.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3}$

Этап 3.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.8.1

Перепишем ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{3^{2}}}{3}$

Этап 3.2.8.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{9}}{3}$

Этап 3.2.9

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.9.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 9}}{3}$

Этап 3.2.9.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 9}}{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 (x^{3} + K)}}{3}$