Математический анализ Примеры

$\frac{2 d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $\frac{d y}{d x}$ на множители.

$2 \frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{x}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$2 \frac{d y}{d x} = y \frac{x + 1}{x}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y \frac{x + 1}{x})$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y \frac{x + 1}{x})$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{x + 1}{x}$

Этап 1.5

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{1}{y} \cdot 2 \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} \cdot 2 d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} \cdot 2 d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{1}{y}$ и $2$ .

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Этап 2.2.3

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Этап 2.3.6

Упростим.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$2 \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $2 \ln (| y |) - \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Упростим $2 \ln (| y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

Этап 3.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (y^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

Этап 3.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{| x |})} = e^{x + C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{y^{2}}{| x |}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$ .

$\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на $| x |$ .

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Этап 3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель $| x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = e^{x + C} | x |$

Этап 3.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Этап 3.5.4.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Этап 3.5.4.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Этап 3.5.4.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{x + C}$ в виде $e^{x} e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{x}$ и $e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Этап 4.3

Перепишем $e^{x + C}$ в виде $e^{x} e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

Этап 4.4

Изменим порядок $e^{x}$ и $e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$