Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = y^{9}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода Бернулли.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = y^{9}$

Этап 1.2

Изменим порядок $y$ и $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = y^{9}$

Этап 2

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть $v = y^{1 - n}$ , где $n$ — показатель степени $y^{9}$ .

$v = y^{- 8}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{8}}$

Этап 4

Возьмем производную $y$ по $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{8}}$

Этап 5

Возьмем производную $v^{- \frac{1}{8}}$ по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возьмем производную от $v^{- \frac{1}{8}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{8}}]$

Этап 5.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{8}}}]$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = v^{\frac{1}{8}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{{(v^{\frac{1}{8}})}^{2}}$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{{(v^{\frac{1}{8}})}^{2}}$

Этап 5.4.2

Перемножим экспоненты в ${(v^{\frac{1}{8}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{8} \cdot 2}}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{2 (4)} \cdot 2}}$

Этап 5.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot 2}}$

Этап 5.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5.4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Умножим $v^{\frac{1}{8}}$ на $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5.4.4.2

Вычтем $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]$ из $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5.4.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{8}}$ и $g (x) = v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5.7

Объединим $- 1$ и $\frac{8}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1 - 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5.9.2

Вычтем $8$ из $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{- 7}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{- \frac{7}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5.11

Объединим $\frac{1}{8}$ и $v^{- \frac{7}{8}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{7}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5.12

Перенесем $v^{- \frac{7}{8}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5.13

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}} v'}{v^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5.14

Объединим $\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}}$ и $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}}{v^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5.15

Перепишем $\frac{\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}}{v^{\frac{1}{4}}}$ в виде произведения.

$y' = - (\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{4}}})$

Этап 5.16

Умножим $\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}$ на $\frac{1}{v^{\frac{1}{4}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}} v^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5.17

Умножим $v^{\frac{7}{8}}$ на $v^{\frac{1}{4}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.17.1

Перенесем $v^{\frac{1}{4}}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 (v^{\frac{1}{4}} v^{\frac{7}{8}})}$

Этап 5.17.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{1}{4} + \frac{7}{8}}}$

Этап 5.17.3

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{8}}}$

Этап 5.17.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $8$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.17.4.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{7}{8}}}$

Этап 5.17.4.2

Умножим $4$ на $2$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2}{8} + \frac{7}{8}}}$

Этап 5.17.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2 + 7}{8}}}$

Этап 5.17.6

Добавим $2$ и $7$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}}$

Этап 6

Подставим $- \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}}$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $v^{- \frac{1}{8}}$ вместо $y$ в исходное уравнение $\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = y^{9}$ .

$- \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$

Этап 7

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Каждый член в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ умножим на $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Умножим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ на $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) - \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Этап 7.1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.1

Сократим общий множитель $8 v^{\frac{9}{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}}$ в числитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) - \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Этап 7.1.1.2.1.1.2

Вынесем множитель $8 v^{\frac{9}{8}}$ из $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (8 v^{\frac{9}{8}} (- 1)) - \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Этап 7.1.1.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (8 v^{\frac{9}{8}} \cdot - 1) - \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Этап 7.1.1.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Этап 7.1.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Этап 7.1.1.2.1.3

Умножим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Этап 7.1.1.2.1.4

Умножим $v^{- \frac{1}{8}}$ на $v^{\frac{9}{8}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.4.1

Перенесем $v^{\frac{9}{8}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} (v^{\frac{9}{8}} v^{- \frac{1}{8}}) (- 1 \cdot (8)) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Этап 7.1.1.2.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{\frac{9}{8} - \frac{1}{8}} (- 1 \cdot (8)) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Этап 7.1.1.2.1.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{\frac{9 - 1}{8}} (- 1 \cdot (8)) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Этап 7.1.1.2.1.4.4

Вычтем $1$ из $9$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{\frac{8}{8}} (- 1 \cdot (8)) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Этап 7.1.1.2.1.4.5

Разделим $8$ на $8$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{1} (- 1 \cdot (8)) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Этап 7.1.1.2.1.5

Упростим $- \frac{1}{x} v^{1} (- 1 \cdot (8))$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v (- 1 \cdot (8)) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Этап 7.1.1.2.1.6

Объединим $v$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} (- 1 \cdot (8)) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Этап 7.1.1.2.1.7

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} \cdot - 8 = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Этап 7.1.1.2.1.8

Умножим $- \frac{v}{x} \cdot - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.8.1

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 8 \frac{v}{x} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Этап 7.1.1.2.1.8.2

Объединим $8$ и $\frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{8 v}{x} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Этап 7.1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} + \frac{8 v}{x} = - 1 \cdot 8 {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} v^{\frac{9}{8}}$

Этап 7.1.1.3.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{8 v}{x} = - 8 {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} v^{\frac{9}{8}}$

Этап 7.1.1.3.3

Перемножим экспоненты в ${(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- \frac{1}{8} \cdot 9} v^{\frac{9}{8}}$

Этап 7.1.1.3.3.2

Умножим $- \frac{1}{8} \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.2.1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- 9 (\frac{1}{8})} v^{\frac{9}{8}}$

Этап 7.1.1.3.3.2.2

Объединим $- 9$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{- 9}{8}} v^{\frac{9}{8}}$

Этап 7.1.1.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d v}{d x} + \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- \frac{9}{8}} v^{\frac{9}{8}}$

Этап 7.1.1.3.4

Умножим $v^{- \frac{9}{8}}$ на $v^{\frac{9}{8}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.4.1

Перенесем $v^{\frac{9}{8}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{8 v}{x} = - 8 (v^{\frac{9}{8}} v^{- \frac{9}{8}})$

Этап 7.1.1.3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} + \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{9}{8} - \frac{9}{8}}$

Этап 7.1.1.3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d v}{d x} + \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{9 - 9}{8}}$

Этап 7.1.1.3.4.4

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{0}{8}}$

Этап 7.1.1.3.4.5

Разделим $0$ на $8$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{8 v}{x} = - 8 v^{0}$

Этап 7.1.1.3.5

Упростим $- 8 v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{8 v}{x} = - 8$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $v$ из $\frac{8 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{8}{x} = - 8$

Этап 7.1.3

Изменим порядок $v$ и $\frac{8}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{8}{x} v = - 8$

Этап 7.2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{8}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{8}{x} d x}$

Этап 7.2.2

Проинтегрируем $\frac{8}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$e^{8 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 7.2.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{8 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 7.2.2.3

Упростим.

$e^{8 \ln (| x |) + C}$

Этап 7.2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{8 \ln (x)}$

Этап 7.2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{8})}$

Этап 7.2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{8}$

Этап 7.3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим каждый член на $x^{8}$ .

$x^{8} \frac{d v}{d x} + x^{8} (\frac{8}{x} v) = x^{8} \cdot - 8$

Этап 7.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Объединим $\frac{8}{x}$ и $v$ .

$x^{8} \frac{d v}{d x} + x^{8} \frac{8 v}{x} = x^{8} \cdot - 8$

Этап 7.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{8}$ .

$x^{8} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{7} \frac{8 v}{x} = x^{8} \cdot - 8$

Этап 7.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{8} \frac{d v}{d x} + x \cdot x^{7} \frac{8 v}{x} = x^{8} \cdot - 8$

Этап 7.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{8} \frac{d v}{d x} + x^{7} (8 v) = x^{8} \cdot - 8$

Этап 7.3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{8} \frac{d v}{d x} + 8 x^{7} v = x^{8} \cdot - 8$

Этап 7.3.3

Перенесем $- 8$ влево от $x^{8}$ .

$x^{8} \frac{d v}{d x} + 8 x^{7} v = - 8 x^{8}$

Этап 7.4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{8} v] = - 8 x^{8}$

Этап 7.5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{8} v] d x = \int - 8 x^{8} d x$

Этап 7.6

Проинтегрируем левую часть.

$x^{8} v = \int - 8 x^{8} d x$

Этап 7.7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Поскольку $- 8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 8$ из-под знака интеграла.

$x^{8} v = - 8 \int x^{8} d x$

Этап 7.7.2

По правилу степени интеграл $x^{8}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$x^{8} v = - 8 (\frac{1}{9} x^{9} + C)$

Этап 7.7.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.1

Перепишем $- 8 (\frac{1}{9} x^{9} + C)$ в виде $- 8 (\frac{1}{9}) x^{9} + C$ .

$x^{8} v = - 8 (\frac{1}{9}) x^{9} + C$

Этап 7.7.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.3.2.1

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{9}$ .

$x^{8} v = \frac{- 8}{9} x^{9} + C$

Этап 7.7.3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{8} v = - \frac{8}{9} x^{9} + C$

Этап 7.8

Разделим каждый член $x^{8} v = - \frac{8}{9} x^{9} + C$ на $x^{8}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Разделим каждый член $x^{8} v = - \frac{8}{9} x^{9} + C$ на $x^{8}$ .

$\frac{x^{8} v}{x^{8}} = \frac{- \frac{8}{9} x^{9}}{x^{8}} + \frac{C}{x^{8}}$

Этап 7.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.2.1

Сократим общий множитель $x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{8} v}{x^{8}} = \frac{- \frac{8}{9} x^{9}}{x^{8}} + \frac{C}{x^{8}}$

Этап 7.8.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{- \frac{8}{9} x^{9}}{x^{8}} + \frac{C}{x^{8}}$

Этап 7.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{9}$ и $x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1.1.1

Вынесем множитель $x^{8}$ из $- \frac{8}{9} x^{9}$ .

$v = \frac{x^{8} (- \frac{8}{9} x)}{x^{8}} + \frac{C}{x^{8}}$

Этап 7.8.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$v = \frac{x^{8} (- \frac{8}{9} x)}{x^{8} \cdot 1} + \frac{C}{x^{8}}$

Этап 7.8.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$v = \frac{x^{8} (- \frac{8}{9} x)}{x^{8} \cdot 1} + \frac{C}{x^{8}}$

Этап 7.8.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$v = \frac{- \frac{8}{9} x}{1} + \frac{C}{x^{8}}$

Этап 7.8.3.1.1.2.4

Разделим $- \frac{8}{9} x$ на $1$ .

$v = - \frac{8}{9} x + \frac{C}{x^{8}}$

Этап 7.8.3.1.2

Объединим $x$ и $\frac{8}{9}$ .

$v = - \frac{x \cdot 8}{9} + \frac{C}{x^{8}}$

Этап 7.8.3.1.3

Перенесем $8$ влево от $x$ .

$v = - \frac{8 x}{9} + \frac{C}{x^{8}}$

Этап 8

Подставим $y^{- 8}$ вместо $v$ .

$y^{- 8} = - \frac{8 x}{9} + \frac{C}{x^{8}}$