Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(x y)}^{2}}{8} + y^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим правило умножения к $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2}}{8} + y^{2}$

Этап 1.1.2

Чтобы записать $y^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2}}{8} + y^{2} \cdot \frac{8}{8}$

Этап 1.1.3

Объединим $y^{2}$ и $\frac{8}{8}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2}}{8} + \frac{y^{2} \cdot 8}{8}$

Этап 1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 8}{8}$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x^{2} y^{2} + y^{2} \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} x^{2} + y^{2} \cdot 8}{8}$

Этап 1.1.5.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \cdot 8$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} x^{2} + y^{2} (8)}{8}$

Этап 1.1.5.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} x^{2} + y^{2} (8)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (x^{2} + 8)}{8}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{8} (x^{2} + 8)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{8}{y^{2}}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{8} (x^{2} + 8))$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{8} x^{2} + \frac{y^{2}}{8} \cdot 8)$

Этап 1.4.2

Объединим $\frac{y^{2}}{8}$ и $x^{2}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2} x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{8} \cdot 8)$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2} x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{8} \cdot 8)$

Этап 1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y^{2}} (\frac{y^{2} x^{2}}{8} + y^{2})$

Этап 1.4.4

Умножим $\frac{8}{y^{2}}$ на $\frac{y^{2} x^{2}}{8} + y^{2}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 (\frac{y^{2} x^{2}}{8} + y^{2})}{y^{2}}$

Этап 1.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $\frac{y^{2} x^{2}}{8} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $\frac{y^{2} x^{2}}{8}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 (y^{2} \frac{x^{2}}{8} + y^{2})}{y^{2}}$

Этап 1.4.5.1.2

Умножим на $1$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 (y^{2} \frac{x^{2}}{8} + y^{2} \cdot 1)}{y^{2}}$

Этап 1.4.5.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \frac{x^{2}}{8} + y^{2} \cdot 1$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 (y^{2} (\frac{x^{2}}{8} + 1))}{y^{2}}$

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 y^{2} (\frac{x^{2}}{8} + 1)}{y^{2}}$

Этап 1.4.5.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 y^{2} (\frac{x^{2}}{8} + \frac{8}{8})}{y^{2}}$

Этап 1.4.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{8 y^{2} \frac{x^{2} + 8}{8}}{y^{2}}$

Этап 1.4.5.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.4.1

Объединим $8$ и $\frac{x^{2} + 8}{8}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \frac{8 (x^{2} + 8)}{8}}{y^{2}}$

Этап 1.4.5.4.2

Объединим $y^{2}$ и $\frac{8 (x^{2} + 8)}{8}$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y^{2} (8 (x^{2} + 8))}{8}}{y^{2}}$

Этап 1.4.5.5

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y^{2} \cdot 8 (x^{2} + 8)}{8}}{y^{2}}$

Этап 1.4.5.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.6.1

Сократим выражение $\frac{y^{2} \cdot 8 (x^{2} + 8)}{8}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.6.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y^{2} \cdot 8 (x^{2} + 8)}{8}}{y^{2}}$

Этап 1.4.5.6.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y^{2} (x^{2} + 8)}{1}}{y^{2}}$

Этап 1.4.5.6.2

Разделим $y^{2} (x^{2} + 8)$ на $1$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (x^{2} + 8)}{y^{2}}$

Этап 1.4.6

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (x^{2} + 8)}{y^{2}}$

Этап 1.4.6.2

Разделим $x^{2} + 8$ на $1$ .

$\frac{8}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 8$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{8}{y^{2}} d y = (x^{2} + 8) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{8}{y^{2}} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int \frac{1}{y^{2}} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Этап 2.2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$8 \int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Этап 2.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int y^{2 \cdot - 1} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Этап 2.2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$8 \int y^{- 2} d y = \int x^{2} + 8 d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$8 (- y^{- 1} + C_{1}) = \int x^{2} + 8 d x$

Этап 2.2.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перепишем $8 (- y^{- 1} + C_{1})$ в виде $8 (- \frac{1}{y}) + C_{1}$ .

$8 (- \frac{1}{y}) + C_{1} = \int x^{2} + 8 d x$

Этап 2.2.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 \frac{1}{y} + C_{1} = \int x^{2} + 8 d x$

Этап 2.2.4.2.2

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 8}{y} + C_{1} = \int x^{2} + 8 d x$

Этап 2.2.4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \int x^{2} + 8 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 8 d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 8 d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 8 x + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$- \frac{8}{y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 8 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{8}{y} = \frac{1}{3} x^{3} + 8 x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- \frac{8}{y} = \frac{x^{3}}{3} + 8 x + K$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 3, 1, 1$

Этап 3.2.2

Так как $y, 3, 1, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 3, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{1}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.5

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 3.2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.7

НОК $1, 3, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 3.2.8

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 3.2.9

НОК $y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y$

Этап 3.2.10

НОК $y, 3, 1, 1$ представляет собой произведение числовой части $3$ и переменной части.

$3 y$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{8}{y} = \frac{x^{3}}{3} + 8 x + K$ умножим на $3 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{8}{y} = \frac{x^{3}}{3} + 8 x + K$ на $3 y$ .

$- \frac{8}{y} (3 y) = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{y}$ в числитель.

$\frac{- 8}{y} (3 y) = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $3 y$ .

$\frac{- 8}{y} (y \cdot 3) = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.2.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8}{y} (y \cdot 3) = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.2.1.4

Перепишем это выражение.

$- 8 \cdot 3 = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 8$ на $3$ .

$- 24 = \frac{x^{3}}{3} (3 y) + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 24 = 3 \frac{x^{3}}{3} y + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- 24 = 3 \frac{x^{3}}{3} y + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- 24 = x^{3} y + 8 x (3 y) + K (3 y)$

Этап 3.3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 24 = x^{3} y + 8 \cdot 3 x y + K (3 y)$

Этап 3.3.3.1.4

Умножим $8$ на $3$ .

$- 24 = x^{3} y + 24 x y + K (3 y)$

Этап 3.3.3.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 24 = x^{3} y + 24 x y + 3 K y$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $x^{3} y + 24 x y + 3 K y = - 24$ .

$x^{3} y + 24 x y + 3 K y = - 24$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $x^{3} y + 24 x y + 3 K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{3} y$ .

$y x^{3} + 24 x y + 3 K y = - 24$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $24 x y$ .

$y x^{3} + y (24 x) + 3 K y = - 24$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $3 K y$ .

$y x^{3} + y (24 x) + y (3 K) = - 24$

Этап 3.4.2.4

Вынесем множитель $y$ из $y x^{3} + y (24 x)$ .

$y (x^{3} + 24 x) + y (3 K) = - 24$

Этап 3.4.2.5

Вынесем множитель $y$ из $y (x^{3} + 24 x) + y (3 K)$ .

$y (x^{3} + 24 x + 3 K) = - 24$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $y (x^{3} + 24 x + 3 K) = - 24$ на $x^{3} + 24 x + 3 K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $y (x^{3} + 24 x + 3 K) = - 24$ на $x^{3} + 24 x + 3 K$ .

$\frac{y (x^{3} + 24 x + 3 K)}{x^{3} + 24 x + 3 K} = \frac{- 24}{x^{3} + 24 x + 3 K}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{3} + 24 x + 3 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x^{3} + 24 x + 3 K)}{x^{3} + 24 x + 3 K} = \frac{- 24}{x^{3} + 24 x + 3 K}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 24}{x^{3} + 24 x + 3 K}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{24}{x^{3} + 24 x + 3 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{24}{x^{3} + 24 x + K}$