Математический анализ Примеры

$2 x y d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $2 x y d x$ из обеих частей уравнения.

$- (1 + x^{2}) d y = - 2 x y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- (1 + x^{2})) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $1 + x^{2}$ из $(1 + x^{2}) y$ .

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) (y)} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{(1 + x^{2}) y} (1 + x^{2}) d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Этап 3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (- 2 x y) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{y} d y = - 2 \frac{1}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Этап 3.5

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{(1 + x^{2}) y}$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{(1 + x^{2}) y} (x y) d x$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $y$ из $(1 + x^{2}) y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (1 + x^{2})} (x y) d x$

Этап 3.6.2

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Этап 3.6.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{y (1 + x^{2})} (y x) d x$

Этап 3.6.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2}{1 + x^{2}} x d x$

Этап 3.7

Объединим $\frac{- 2}{1 + x^{2}}$ и $x$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)$

Этап 4.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.3.4

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Пусть $u = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 4.3.4.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.3.4.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.3.4.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 4.3.4.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 4.3.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 4.3.5.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 4.3.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 4.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.7.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4.3.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 4.3.9

Упростим.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 4.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x^{2}$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| y |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

Этап 5.2

Вычтем $\ln (| 1 + x^{2} |)$ из обеих частей уравнения.

$- \ln (| y |) = C - \ln (| 1 + x^{2} |)$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- \ln (| y |) = C - \ln (| 1 + x^{2} |)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- \ln (| y |) = C - \ln (| 1 + x^{2} |)$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Этап 5.3.2.2

Разделим $\ln (| y |)$ на $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Этап 5.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| y |) = - C + \frac{- \ln (| 1 + x^{2} |)}{- 1}$

Этап 5.3.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\ln (| y |) = - C + \frac{\ln (| 1 + x^{2} |)}{1}$

Этап 5.3.3.1.4

Разделим $\ln (| 1 + x^{2} |)$ на $1$ .

$\ln (| y |) = - C + \ln (| 1 + x^{2} |)$

Этап 5.4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - \ln (| 1 + x^{2} |) = - C$

Этап 5.5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = - C$

Этап 5.6

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |})} = e^{- C}$

Этап 5.7

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}) = - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y |}{| 1 + x^{2} |}$

Этап 5.8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{- C}$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} = e^{- C}$

Этап 5.8.2

Умножим обе части на $| 1 + x^{2} |$ .

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{- C} | 1 + x^{2} |$

Этап 5.8.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1

Сократим общий множитель $| 1 + x^{2} |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{| 1 + x^{2} |} | 1 + x^{2} | = e^{- C} | 1 + x^{2} |$

Этап 5.8.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{- C} | 1 + x^{2} |$

Этап 5.8.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{- C} | 1 + x^{2} |$ .

$| y | = | 1 + x^{2} | e^{- C}$

Этап 5.8.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | 1 + x^{2} | e^{- C}$

Этап 6

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm | 1 + x^{2} | C$

Этап 6.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C | 1 + x^{2} |$