Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x + 2)$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (x + 1) (x + 2) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int (x + 1) (x + 2) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int (x + 1) (x + 2) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y + C_{1} = \int x (x + 2) + 1 (x + 2) d x$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y + C_{1} = \int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2) d x$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + C_{1} = \int x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Этап 2.3.1.4

Изменим порядок $x$ и $2$ .

$y + C_{1} = \int x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Этап 2.3.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Этап 2.3.1.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Этап 2.3.1.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + C_{1} = \int x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Этап 2.3.1.8

Добавим $1$ и $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2 d x$

Этап 2.3.1.9

Умножим $x$ на $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2 d x$

Этап 2.3.1.10

Умножим $2$ на $1$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 2 x + x + 2 d x$

Этап 2.3.1.11

Добавим $2 x$ и $x$ .

$y + C_{1} = \int x^{2} + 3 x + 2 d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 3 x d x + \int 2 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 3 x d x + \int 2 d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 \int x d x + \int 2 d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 2 d x$

Этап 2.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 2 x + C_{4}$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 2 x + C_{4}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 x + C_{5}$

Этап 2.3.7.3

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 2 x + K$