Математический анализ Примеры

$x y^{2} \frac{d y}{d x} - x = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $x y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x$ на $x y^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $x y^{2} \frac{d y}{d x} = 1 + x$ на $x y^{2}$ .

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

Этап 1.1.2.2.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

Этап 1.1.2.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{x y^{2}}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы записать $\frac{1}{y^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 1.2.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x y^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{x}{y^{2} x}$

Этап 1.2.2.2

Изменим порядок множителей в $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} + \frac{x}{y^{2} x}$

Этап 1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{y^{2} x}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{1 + x}{x}$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 + x}{x y^{2}}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 + x}{y^{2} x}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 + x}{y^{2} x}$

Этап 1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$y^{2} d y = \frac{1 + x}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Этап 2.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Этап 2.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

Этап 2.3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

Этап 2.3.6

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

Этап 2.3.7

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = x + \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (x + \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 x + 3 \ln (| x |) + 3 C$

Этап 3.3

Упростим $3 \ln (| x |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$y^{3} = 3 x + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{3 x + \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt[3]{3 x + \ln ({| x |}^{3}) + C}$