Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ , $(3, 1)$

Этап 1

Предположим, что $\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ .

Этап 2

Проверим непрерывность функции в окрестности $(3, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим значения $(3, 1)$ в $\frac{d y}{d x} = \sqrt{x - y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$\sqrt{3 - y}$

Этап 2.1.2

Подставим $1$ вместо $y$ .

$\sqrt{3 - 1}$

Этап 2.1.3

Вычтем $1$ из $3$ .

$\sqrt{2}$

Этап 2.2

Поскольку здесь нет логарифма с отрицательным или нулевым аргументом, нет корня четной степени с нулевым или отрицательным подкоренным выражением и нет дроби с нулевым знаменателем, это непрерывная функция на открытом интервале в окрестности значения $x$ точки $(3, 1)$ .

Непрерывные

Этап 3

Найдем частную производную по $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим частную производную.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sqrt{x - y}]$

Этап 3.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - y}$ в виде ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ и $g (y) = x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - y$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x - y]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - y$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x - y]$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Этап 3.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Этап 3.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x - y]$

Этап 3.8.3

Перенесем ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x - y]$

Этап 3.9

По правилу суммы производная $x - y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

Этап 3.10

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Этап 3.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- y]$

Этап 3.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [y])$

Этап 3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Этап 3.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Этап 3.14.2

Объединим $\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ и $- 1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{- 1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.14.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Проверим непрерывность частной производной по $y$ в окрестности $(3, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Переведем дробные показатели степени в форму с радикалами.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

Этап 4.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

Этап 4.2

Подставим значения $(3, 1)$ в $\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x - y)}^{1}}}$

Этап 4.2.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - y}}$

Этап 4.2.3

Подставим $3$ вместо $y$ .

$- \frac{1}{2 \sqrt{x - 3}}$

Этап 4.3

Непрерывные

Этап 5

И функция, и ее частная производная по $y$ непрерывны на открытом интервале в окрестности значения $x$ точки $(3, 1)$ .

Одно единственное решение