Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{4 x}}{2 \cos (2 y)}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\cos (2 y)$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{2 \cos (2 y)}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $\cos (2 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $\cos (2 y)$ из $2 \cos (2 y)$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{\cos (2 y) \cdot 2}$

Этап 1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \cos (2 y) \frac{8 e^{4 x}}{\cos (2 y) \cdot 2}$

Этап 1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{4 x}}{2}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8 e^{4 x}$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2}$

Этап 1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2 (1)}$

Этап 1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{2 (4 e^{4 x})}{2 \cdot 1}$

Этап 1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = \frac{4 e^{4 x}}{1}$

Этап 1.2.2.2.4

Разделим $4 e^{4 x}$ на $1$ .

$\cos (2 y) \frac{d y}{d x} = 4 e^{4 x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\cos (2 y) d y = 4 e^{4 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \cos (2 y) d y = \int 4 e^{4 x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 2 y$ . Тогда $d u_{1} = 2 d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 2 y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Этап 2.2.1.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.2.1.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Этап 2.2.2

Объединим $\cos (u_{1})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C_{1}) = \int 4 e^{4 x} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{2} \sin (u_{1}) + C_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 y$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \int 4 e^{4 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int e^{4 x} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{2} = 4 x$ . Тогда $d u_{2} = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{2} = 4 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 2.3.2.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 2.3.2.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $4$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \frac{4}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.5.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \frac{4}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.5.3

Умножим $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.6

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 x$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) + C_{1} = e^{4 x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 y) = e^{4 x} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \sin (2 y)) = 2 (e^{4 x} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \sin (2 y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 y)$ .

$2 \frac{\sin (2 y)}{2} = 2 (e^{4 x} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sin (2 y)}{2} = 2 (e^{4 x} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\sin (2 y) = 2 (e^{4 x} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (2 y) = 2 e^{4 x} + 2 K$

Этап 3.3

Изменим порядок $2 e^{4 x}$ и $2 K$ .

$\sin (2 y) = 2 K + 2 e^{4 x}$

Этап 3.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$

Этап 3.5

Разделим каждый член $2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $2 y = \arcsin (2 K + 2 e^{4 x})$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

Этап 3.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\arcsin (2 K + 2 e^{4 x})}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\arcsin (K + 2 e^{4 x})}{2}$