Математический анализ Примеры

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ , $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 7 \frac{d y}{d x} + 12 y = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$y'' - 7 y' + 12 y = 0$

Этап 2

Найдем $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x})$

Этап 2.2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 2.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Этап 2.3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{3 x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Этап 2.3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Этап 2.3.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Этап 2.3.2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Этап 2.3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Этап 2.3.2.5

Умножим $3$ на $1$ .

$2 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Этап 2.3.2.6

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$2 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Этап 2.3.2.7

Умножим $3$ на $2$ .

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$

Этап 2.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 e^{4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 e^{4 x}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$6 e^{3 x} - 5 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Этап 2.3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $4 x$ .

$6 e^{3 x} - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 x$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.3.3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Этап 2.3.3.5

Умножим $4$ на $1$ .

$6 e^{3 x} - 5 (e^{4 x} \cdot 4)$

Этап 2.3.3.6

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$6 e^{3 x} - 5 (4 \cdot e^{4 x})$

Этап 2.3.3.7

Умножим $4$ на $- 5$ .

$6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

Этап 2.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$

Этап 3

Найдем $y''$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим производную.

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ .

$y'' = \frac{d}{d x} [6 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 e^{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 e^{3 x}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$y'' = 6 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x$ .

$y'' = 6 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Этап 3.3.2.2

$y'' = 6 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Этап 3.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Этап 3.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$y'' = 6 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Этап 3.3.6

Перенесем $3$ влево от $e^{3 x}$ .

$y'' = 6 (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Этап 3.3.7

Умножим $3$ на $6$ .

$y'' = 18 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 20 e^{4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20 e^{4 x}$ по $x$ равна $- 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Этап 3.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $4 x$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 3.4.2.2

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 3.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $4 x$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 3.4.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Этап 3.4.5

Умножим $4$ на $1$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (e^{4 x} \cdot 4)$

Этап 3.4.6

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 20 (4 e^{4 x})$

Этап 3.4.7

Умножим $4$ на $- 20$ .

$y'' = 18 e^{3 x} - 80 e^{4 x}$

Этап 4

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x} - 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 7 (6 e^{3 x}) - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Этап 5.1.2

Умножим $6$ на $- 7$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} - 7 (- 20 e^{4 x}) + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Этап 5.1.3

Умножим $- 20$ на $- 7$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}) = 0$

Этап 5.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 12 (2 e^{3 x}) + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

Этап 5.1.5

Умножим $2$ на $12$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} + 12 (- 5 e^{4 x}) = 0$

Этап 5.1.6

Умножим $- 5$ на $12$ .

$18 e^{3 x} - 80 e^{4 x} - 42 e^{3 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Этап 5.2

Вычтем $42 e^{3 x}$ из $18 e^{3 x}$ .

$- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Этап 5.3

Объединим противоположные члены в $- 24 e^{3 x} - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} + 24 e^{3 x} - 60 e^{4 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Добавим $- 24 e^{3 x}$ и $24 e^{3 x}$ .

$0 - 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Этап 5.3.2

Вычтем $80 e^{4 x}$ из $0$ .

$- 80 e^{4 x} + 140 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Этап 5.4

Добавим $- 80 e^{4 x}$ и $140 e^{4 x}$ .

$60 e^{4 x} - 60 e^{4 x} = 0$

Этап 5.5

Вычтем $60 e^{4 x}$ из $60 e^{4 x}$ .

$0 = 0$

Этап 6

Данное решение удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению.

$y = 2 e^{3 x} - 5 e^{4 x}$ является решением уравнения $y'' - 7 y' + 12 y = 0$