Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 x y^{- 2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (2 x y^{- 2})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y^{- 2}} (x y^{- 2})$

Этап 1.2.2

Перенесем $y^{- 2}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 2 y^{2} (x y^{- 2})$

Этап 1.2.3

Умножим $y^{2}$ на $y^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перенесем $y^{- 2}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 2 (y^{- 2} y^{2}) x$

Этап 1.2.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 2 y^{- 2 + 2} x$

Этап 1.2.3.3

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 2 y^{0} x$

Этап 1.2.4

Упростим $2 y^{0} x$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = 2 x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int 2 x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $y^{- 2}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int 2 x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int 2 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (x^{2} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 x^{2} + 3 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{3 x^{2} + 3 K}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2}) + 3 K}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{2} + K)}$