Математический анализ Примеры

$t \frac{d y}{d x} = 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$t d y = (6 t e^{2 t} + x (2 t - 1)) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int t d y = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} + x (2 t - 1) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$t y + C_{1} = \int 6 t e^{2 t} d x + \int x (2 t - 1) d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + \int x (2 t - 1) d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $2 t - 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2 t - 1$ из-под знака интеграла.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) \int x d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + C_{2} + (2 t - 1) (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$t y + C_{1} = 6 t e^{2 t} x + (2 t - 1) \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$t y + C_{1} = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} x^{2} (2 t - 1) + K$

Этап 3

Разделим каждый член $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ на $t$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $t y = 6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K$ на $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t y}{t} = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x}{t} + \frac{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1))}{t} + \frac{K}{t}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t - 1)) + K}{t}$

Этап 3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (x^{2} (2 t) + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

Этап 3.3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t + x^{2} \cdot - 1) + K}{t}$

Этап 3.3.2.3

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - 1 \cdot x^{2}) + K}{t}$

Этап 3.3.2.4

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} \cdot (2 x^{2} t - x^{2}) + K}{t}$

Этап 3.3.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 x^{2} t) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Этап 3.3.2.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Этап 3.3.2.6.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{1}{2} (2 (x^{2} t)) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Этап 3.3.2.6.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t + \frac{1}{2} (- x^{2}) + K}{t}$

Этап 3.3.2.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + x^{2} t - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.2.8

Объединим $x^{2} t$ и $- \frac{x^{2}}{2}$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.8.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.2.8.2

Чтобы записать $t x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + t x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.2.8.3

Объединим $t x^{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.2.8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{t x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.9.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $t x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.9.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $t x^{2} \cdot 2$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) - x^{2}}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.2.9.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.2.9.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (t \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (t \cdot 2 - 1)}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.2.9.2

Перенесем $2$ влево от $t$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.3

Чтобы записать $6 e^{2 t} t x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{6 e^{2 t} t x \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Объединим $6 e^{2 t} t x$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $6 e^{2 t} t x \cdot 2 + x^{2} (2 t - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $6 e^{2 t} t x \cdot 2$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x^{2} (2 t - 1)}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (2 t - 1)$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (6 e^{2 t} t \cdot 2) + x (x (2 t - 1))$ .

$y = \frac{\frac{x (6 e^{2 t} t \cdot 2 + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.5.2

Умножим $2$ на $6$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t - 1))}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + x (2 t) + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.5.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t + x \cdot - 1)}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.5.5

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - 1 \cdot x)}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.5.6

Упростим каждый член.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K}{t}$

Этап 3.3.6

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + K \cdot \frac{2}{2}}{t}$

Этап 3.3.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Объединим $K$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x)}{2} + \frac{K \cdot 2}{2}}{t}$

Этап 3.3.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t + 2 x t - x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Этап 3.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{\frac{x (12 e^{2 t} t) + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Этап 3.3.8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + x (2 x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Этап 3.3.8.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) + x (- x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Этап 3.3.8.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x (x t) - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Этап 3.3.8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.3.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.3.1.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 (x \cdot x) t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Этап 3.3.8.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x \cdot x + K \cdot 2}{2}}{t}$

Этап 3.3.8.3.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.8.3.2.1

Перенесем $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - (x \cdot x) + K \cdot 2}{2}}{t}$

Этап 3.3.8.3.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + K \cdot 2}{2}}{t}$

Этап 3.3.8.4

Перенесем $2$ влево от $K$ .

$y = \frac{\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

Этап 3.3.9

Изменим порядок множителей в $\frac{12 x e^{2 t} t + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ .

$y = \frac{\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}}{t}$

Этап 3.3.10

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2} \cdot \frac{1}{t}$

Этап 3.3.11

Умножим $\frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2}$ на $\frac{1}{t}$ .

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + 2 K}{2 t}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{12 x t e^{2 t} + 2 x^{2} t - x^{2} + K}{2 t}$