Математический анализ Примеры

$2 y (x + 1) d y = x d x$

Этап 1

Умножим обе части на $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{x + 1} (2 y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{1}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Этап 2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} (y (x + 1)) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $y (x + 1)$ .

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{x + 1} ((x + 1) y) d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Этап 2.3.3

Перепишем это выражение.

$2 y d y = \frac{1}{x + 1} x d x$

Этап 2.4

Объединим $\frac{1}{x + 1}$ и $x$ .

$2 y d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 2 y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 3.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int y d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 3.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 3.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ в виде $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 3.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 3.2.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 3.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 3.2.3.2.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим $x$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Этап 3.3.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Этап 3.3.1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Этап 3.3.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Этап 3.3.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Этап 3.3.1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$y^{2} + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 3.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y^{2} + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 3.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 3.3.5

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 3.3.5.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3.5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.3.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Этап 3.3.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$y^{2} + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Этап 3.3.7

Упростим.

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

Этап 3.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$y^{2} + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y^{2} = x - \ln (| x + 1 |) + C$

Этап 4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Этап 4.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Этап 4.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

Этап 4.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{x - \ln (| x + 1 |) + C}$