Математический анализ Примеры

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + (\cos (θ)) r = \tan (θ)$

Этап 1

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $\sin (θ) r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ имеет вид $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , где $f (θ) = \sin (θ)$ и $g (θ) = r$ .

$\sin (θ) \frac{d}{d θ} [r] + r \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{d}{d θ} [r]$ в виде $r'$ .

$\sin (θ) r' + r \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Этап 1.3

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$\sin (θ) r' + r \cos (θ)$

Этап 1.4

Подставим $\frac{d r}{d θ}$ вместо $r'$ .

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + r \cos (θ)$

Этап 2

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ) r] = \tan (θ)$

Этап 3

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d θ} [\sin (θ) r] d θ = \int \tan (θ) d θ$

Этап 4

Проинтегрируем левую часть.

$\sin (θ) r = \int \tan (θ) d θ$

Этап 5

Интеграл $\tan (θ)$ по $θ$ имеет вид $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$

Этап 6

Разделим каждый член $\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$ на $\sin (θ)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $\sin (θ) r = \ln (| \sec (θ) |) + C$ на $\sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $r$ на $1$ .

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Разделим дроби.

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin (θ)}$

Этап 6.3.1.2

Переведем $\frac{1}{\sin (θ)}$ в $\csc (θ)$ .

$r = \frac{\ln (| \sec (θ) |)}{1} \csc (θ) + \frac{C}{\sin (θ)}$

Этап 6.3.1.3

Разделим $\ln (| \sec (θ) |)$ на $1$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{\sin (θ)}$

Этап 6.3.1.4

Разделим дроби.

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$

Этап 6.3.1.5

Переведем $\frac{1}{\sin (θ)}$ в $\csc (θ)$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + \frac{C}{1} \csc (θ)$

Этап 6.3.1.6

Разделим $C$ на $1$ .

$r = \ln (| \sec (θ) |) \csc (θ) + C \csc (θ)$