Математический анализ Примеры

$e^{x} e^{y} d x - e^{- 2 y} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $e^{x} e^{y} d x$ из обеих частей уравнения.

$- e^{- 2 y} d y = - e^{x} e^{y} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} (- e^{- 2 y}) d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{e^{y}} e^{- 2 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Этап 3.2

Объединим $e^{- 2 y}$ и $\frac{1}{e^{y}}$ .

$- \frac{e^{- 2 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $e^{- 2 y}$ и $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $e^{y}$ из $e^{- 2 y}$ .

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Этап 3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Умножим на $1$ .

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{e^{y} e^{- 3 y}}{e^{y} \cdot 1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Этап 3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{e^{- 3 y}}{1} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Этап 3.3.2.4

Разделим $e^{- 3 y}$ на $1$ .

$- e^{- 3 y} d y = \frac{1}{e^{y}} (- e^{x} e^{y}) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- e^{- 3 y} d y = - \frac{1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{e^{y}}$ в числитель.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{x} e^{y}) d x$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $e^{y}$ из $e^{x} e^{y}$ .

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

Этап 3.5.3

Сократим общий множитель.

$- e^{- 3 y} d y = \frac{- 1}{e^{y}} (e^{y} (e^{x - y} e^{y})) d x$

Этап 3.5.4

Перепишем это выражение.

$- e^{- 3 y} d y = - (e^{x - y} e^{y}) d x$

Этап 3.6

Умножим $e^{x - y}$ на $e^{y}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x - y + y} d x$

Этап 3.6.2

Объединим противоположные члены в $x - y + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Добавим $- y$ и $y$ .

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x + 0} d x$

Этап 3.6.2.2

Добавим $x$ и $0$ .

$- e^{- 3 y} d y = - e^{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int e^{- 3 y} d y = \int - e^{x} d x$

Этап 4.2.2

Пусть $u = - 3 y$ . Тогда $d u = - 3 d y$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Пусть $u = - 3 y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Дифференцируем $- 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 3 y]$

Этап 4.2.2.1.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $y$ , производная $- 3 y$ по $y$ равна $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 3 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 4.2.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3$

Этап 4.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u = \int - e^{x} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int - e^{x} d x$

Этап 4.2.3.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \int - \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Этап 4.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- - \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Этап 4.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Этап 4.2.5.2

Умножим $\int \frac{e^{u}}{3} d u$ на $1$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int - e^{x} d x$

Этап 4.2.6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int - e^{x} d x$

Этап 4.2.7

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int - e^{x} d x$

Этап 4.2.8

Упростим.

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

Этап 4.2.9

Заменим все вхождения $u$ на $- 3 y$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = \int - e^{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - \int e^{x} d x$

Этап 4.3.2

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - (e^{x} + C_{2})$

Этап 4.3.3

Упростим.

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} + C_{1} = - e^{x} + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} e^{- 3 y} = - e^{x} + K$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y}) = 3 (- e^{x} + K)$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} e^{- 3 y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{- 3 y}$ .

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{e^{- 3 y}}{3} = 3 (- e^{x} + K)$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x} + K)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $3 (- e^{x} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- 3 y} = 3 (- e^{x}) + 3 K$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$e^{- 3 y} = - 3 e^{x} + 3 K$

Этап 5.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- 3 y}) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Этап 5.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Развернем $\ln (e^{- 3 y})$ , вынося $- 3 y$ из логарифма.

$- 3 y \ln (e) = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Этап 5.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- 3 y \cdot 1 = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Этап 5.4.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$

Этап 5.5

Разделим каждый член $- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $- 3 y = \ln (- 3 e^{x} + 3 K)$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{- 3}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + 3 K)}{3}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{\ln (- 3 e^{x} + K)}{3}$