Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin (x) - y \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разобьем дробь $\frac{x \sin (x) - y \cos (x)}{\sin (x)}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 1.1.2

Вычтем $\frac{- y \cos (x)}{\sin (x)}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- y \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $y$ из $- \frac{- y \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}) = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 1.3

Изменим порядок $y$ и $- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем $- 1 \cos (x)$ в виде $- \cos (x)$ .

$e^{\int - \frac{- \cos (x)}{\sin (x)} d x}$

Этап 2.2.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{\int - - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x}$

Этап 2.2.1.3

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$e^{\int - - \cot (x) d x}$

Этап 2.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{\int 1 \cot (x) d x}$

Этап 2.2.1.5

Умножим $\cot (x)$ на $1$ .

$e^{\int \cot (x) d x}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\cot (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Этап 2.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\sin (x)$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (- \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y) = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) \cdot - 1 \frac{- 1 \cos (x)}{\sin (x)} y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} - (- 1 \cos (x)) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + 1 \cos (x) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.2.4

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \frac{x \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.3.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = x \sin (x)$

Этап 3.4

Изменим порядок множителей в $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = x \sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = x \sin (x)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = x \sin (x)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int x \sin (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\sin (x) y = \int x \sin (x) d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (x)$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Этап 7.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Этап 7.3.2

Умножим $\int \cos (x) d x$ на $1$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Этап 7.4

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$\sin (x) y = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Этап 7.5

Перепишем $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ в виде $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ .

$\sin (x) y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$

Этап 8

Разделим каждый член $\sin (x) y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ на $\sin (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $\sin (x) y = - x \cos (x) + \sin (x) + C$ на $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- x \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- x \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- x \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Разделим дроби.

$y = \frac{- x}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3.1.2

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$y = \frac{- x}{1} \cot (x) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3.1.3

Разделим $- x$ на $1$ .

$y = - x \cot (x) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3.1.4

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$y = - x \cot (x) + \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$y = - x \cot (x) + 1 + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 8.3.1.5

Разделим дроби.

$y = - x \cot (x) + 1 + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 8.3.1.6

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$y = - x \cot (x) + 1 + \frac{C}{1} \csc (x)$

Этап 8.3.1.7

Разделим $C$ на $1$ .

$y = - x \cot (x) + 1 + C \csc (x)$