Математический анализ Примеры

$x \sqrt{1 + y^{2}} d x + y \sqrt{1 + x^{2}} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $x \sqrt{1 + y^{2}} d x$ из обеих частей уравнения.

$y \sqrt{1 + x^{2}} d y = - x \sqrt{1 + y^{2}} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.2.2

Возведем $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.2.3

Возведем $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} {\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1 + 1}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.2.6

Перепишем ${\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}$ в виде $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ в виде ${((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{({((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{1}} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.2.6.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y \sqrt{1 + x^{2}}) d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.3

Умножим $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (y \sqrt{1 + x^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $y$ и $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ и $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{1 + x^{2}}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.3.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{y \sqrt{(1 + x^{2}) ((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.3.4

Возведем $1 + x^{2}$ в степень $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{1} (1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.3.5

Возведем $1 + x^{2}$ в степень $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{1} {(1 + x^{2})}^{1} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{1 + 1} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{y \sqrt{{(1 + x^{2})}^{2} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{y \sqrt{{(1^{2} + x^{2})}^{2} (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{y ((1^{2} + x^{2}) \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{y ((1 + x^{2}) \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y (1 \sqrt{1 + y^{2}} + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.4.5

Умножим $\sqrt{1 + y^{2}}$ на $1$ .

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.4.6

Вынесем множитель $\sqrt{1 + y^{2}}$ из $\sqrt{1 + y^{2}} + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Умножим на $1$ .

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} \cdot 1 + x^{2} \sqrt{1 + y^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.4.6.2

Вынесем множитель $\sqrt{1 + y^{2}}$ из $x^{2} \sqrt{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + y^{2}} x^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.4.6.3

Вынесем множитель $\sqrt{1 + y^{2}}$ из $\sqrt{1 + y^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + y^{2}} x^{2}$ .

$\frac{y (\sqrt{1 + y^{2}} (1 + x^{2}))}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}} (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}} (1 + x^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (- x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.7

Умножим $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - (\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}) (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.8.2

Возведем $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ в степень $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.8.3

Возведем $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ в степень $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1} {\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{1 + 1}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.8.6

Перепишем ${\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}^{2}$ в виде $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ в виде ${((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{({((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.8.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.8.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.8.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.8.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{{((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}^{1}} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.8.6.5

Упростим.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x \sqrt{1 + y^{2}}) d x$

Этап 3.9

Умножим $- \frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} (x \sqrt{1 + y^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Объединим $x$ и $\frac{\sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} \sqrt{1 + y^{2}} d x$

Этап 3.9.2

Объединим $\sqrt{1 + y^{2}}$ и $\frac{x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{\sqrt{1 + y^{2}} (x \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Этап 3.9.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{(1 + y^{2}) ((1 + x^{2}) (1 + y^{2}))}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Этап 3.9.4

Возведем $1 + y^{2}$ в степень $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{1} (1 + y^{2}) (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Этап 3.9.5

Возведем $1 + y^{2}$ в степень $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{1} {(1 + y^{2})}^{1} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Этап 3.9.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{1 + 1} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Этап 3.9.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1 + y^{2})}^{2} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Этап 3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{{(1^{2} + y^{2})}^{2} (1 + x^{2})}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Этап 3.10.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x ((1^{2} + y^{2}) \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Этап 3.10.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x ((1 + y^{2}) \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Этап 3.10.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (1 \sqrt{1 + x^{2}} + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Этап 3.10.5

Умножим $\sqrt{1 + x^{2}}$ на $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Этап 3.10.6

Вынесем множитель $\sqrt{1 + x^{2}}$ из $\sqrt{1 + x^{2}} + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.6.1

Умножим на $1$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + y^{2} \sqrt{1 + x^{2}})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Этап 3.10.6.2

Вынесем множитель $\sqrt{1 + x^{2}}$ из $y^{2} \sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + x^{2}} y^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Этап 3.10.6.3

Вынесем множитель $\sqrt{1 + x^{2}}$ из $\sqrt{1 + x^{2}} \cdot 1 + \sqrt{1 + x^{2}} y^{2}$ .

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x (\sqrt{1 + x^{2}} (1 + y^{2}))}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (1 + y^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Этап 3.11

Сократим общий множитель $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} (1 + y^{2})}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} d x$

Этап 3.11.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y \sqrt{1 + y^{2}}}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 y d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u_{1} = 1 + y^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Этап 4.2.1.1.2

По правилу суммы производная $1 + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 4.2.1.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 4.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Этап 4.2.1.1.5

Добавим $0$ и $2 y$ .

$2 y$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$\int \frac{\sqrt{u_{1}}}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.1

Перенесем ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1} \cdot {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.4.2.2

Умножим $u_{1}$ на ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.2.1

Умножим $u_{1}$ на ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.2.2.1.1

Возведем $u_{1}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{1} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.4.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.4.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.4.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.4.2.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.4.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1

Вынесем ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.4.3.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.4.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.4.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.5

По правилу степени интеграл ${u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$ по $u_{1}$ имеет вид $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Перепишем $\frac{1}{2} (2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ в виде $\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.6.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.6.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.6.2.3

Умножим ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

${u_{1}}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.2.7

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + y^{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Тогда $d u_{2} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u_{2} = 1 + x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Дифференцируем $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Этап 4.3.2.1.2

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.3.2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Этап 4.3.2.1.5

Добавим $0$ и $2 x$ .

$2 x$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 4.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Этап 4.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $u_{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{2 u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 4.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{2}}$ в виде ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Перенесем ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \cdot {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 4.3.5.2.2

Умножим $u_{2}$ на ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.2.1

Умножим $u_{2}$ на ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.2.1.1

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1} {u_{2}}^{- \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 4.3.5.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{1 - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 4.3.5.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 4.3.5.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{2 - 1}{2}}} d u_{2}$

Этап 4.3.5.2.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 4.3.5.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.1

Вынесем ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 4.3.5.3.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 4.3.5.3.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.5.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.6

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 4.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Перепишем $- \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.7.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{- 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.7.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.7.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{- 1}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.7.2.3.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.8

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + x^{2}$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

${(1 + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$