Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2} y^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{1}{3 x^{2}} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{3 x^{2} y^{2}}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $3 x^{2} y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} (3 x^{2})}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{1 \cdot 1}{y^{2} (3 x^{2})}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{3 x^{2}}$

Этап 1.3.3

Умножим $1$ на $1$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$y^{2} d y = \frac{1}{3 x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int \frac{1}{3 x^{2}} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{1}{3 x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $\frac{1}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3 x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3 x} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3 x} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (- \frac{1}{3 x} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3 x}) + 3 K$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3 x}$ в числитель.

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 x} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 (x)} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$y^{3} = 3 \frac{- 1}{3 x} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$y^{3} = \frac{- 1}{x} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = - \frac{1}{x} + 3 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x} + 3 K}$

Этап 3.4

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{1}{x} + 3 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы записать $3 K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x} + \frac{3 K x}{x}}$

Этап 3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 1 + 3 K x}{x}}$

Этап 3.4.3

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{- 1 + 3 K x}{x}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 3.4.4

Умножим $\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Этап 3.4.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x}}{\sqrt[3]{x}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Этап 3.4.5.2

Возведем $\sqrt[3]{x}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Этап 3.4.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Этап 3.4.5.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Этап 3.4.5.5

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.4.5.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.4.5.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.5.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.5.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Этап 3.4.5.5.5

Упростим.

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Этап 3.4.6

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 1 + 3 K x} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Этап 3.4.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[3]{(- 1 + 3 K x) x^{2}}}{x}$

Этап 3.4.8

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{(- 1 + 3 K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (- 1 + 3 K x)}}{x}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (- 1 + K x)}}{x}$