Математический анализ Примеры

$(5 - x) e^{y} d x = x y d y$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$x y d y = (5 - x) e^{y} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x e^{y}}$ .

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x e^{y}$ .

$\frac{1}{x (e^{y})} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{1}{x (e^{y})} (x (y)) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Этап 3.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x e^{y}} (x y) d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Этап 3.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{y}} y d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{e^{y}}$ и $y$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x e^{y}} ((5 - x) e^{y}) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $e^{y}$ из $x e^{y}$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} ((5 - x) e^{y}) d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $e^{y}$ из $(5 - x) e^{y}$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{e^{y} x} (e^{y} (5 - x)) d x$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{1}{x} (5 - x) d x$

Этап 3.4

Умножим $\frac{1}{x}$ на $5 - x$ .

$\frac{y}{e^{y}} d y = \frac{5 - x}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{y}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Этап 4.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Этап 4.2.1.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$\int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Этап 4.2.1.2.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\int y e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Этап 4.2.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = y$ и $d v = e^{- y}$ .

$y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Этап 4.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Этап 4.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Этап 4.2.4.2

Умножим $\int e^{- y} d y$ на $1$ .

$y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Этап 4.2.5

Пусть $u = - y$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Пусть $u = - y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Дифференцируем $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Этап 4.2.5.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Этап 4.2.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 4.2.5.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y (- e^{- y}) + \int - e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Этап 4.2.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y (- e^{- y}) - \int e^{u} d u = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Этап 4.2.7

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Этап 4.2.8

Перепишем $y (- e^{- y}) - (e^{u} + C_{1})$ в виде $- y e^{- y} - e^{u} + C_{1}$ .

$- y e^{- y} - e^{u} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Этап 4.2.9

Заменим все вхождения $u$ на $- y$ .

$- y e^{- y} - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Этап 4.2.10

Изменим порядок членов.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5 - x}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} + \frac{- x}{x} d x$

Этап 4.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{- x}{x} d x$

Этап 4.3.3.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = \int \frac{5}{x} d x + \int - 1 d x$

Этап 4.3.4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{x} d x + \int - 1 d x$

Этап 4.3.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int - 1 d x$

Этап 4.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 (\ln (| x |) + C_{2}) - x + C_{3}$

Этап 4.3.7

Упростим.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = 5 \ln (| x |) - x + C_{4}$

Этап 4.3.8

Изменим порядок членов.

$- e^{- y} y - e^{- y} + C_{1} = - x + 5 \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- e^{- y} y - e^{- y} = - x + 5 \ln (| x |) + C$