Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x (3 + 5 x^{2})$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x \cdot 3 + x (5 x^{2})$

Этап 1.1.2

Изменим порядок членов.

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = 5 x^{2} x + 3 x$

Этап 1.2

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} + 2 y = 5 x^{2} x + 3 x$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{5 x^{2} x}{x} + \frac{3 x}{x}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{5 x^{2} x}{x} + \frac{3 x}{x}$

Этап 1.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{5 x^{2} x}{x} + \frac{3 x}{x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x^{2} x$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (5 x \cdot x)}{x} + \frac{3 x}{x}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (5 x \cdot x)}{x^{1}} + \frac{3 x}{x}$

Этап 1.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (5 x \cdot x)}{x \cdot 1} + \frac{3 x}{x}$

Этап 1.4.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (5 x \cdot x)}{x \cdot 1} + \frac{3 x}{x}$

Этап 1.4.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{5 x \cdot x}{1} + \frac{3 x}{x}$

Этап 1.4.2.5

Разделим $5 x \cdot x$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 5 x \cdot x + \frac{3 x}{x}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 5 x \cdot x + \frac{3 x}{x}$

Этап 1.5.2

Разделим $3$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 5 x \cdot x + 3$

Этап 1.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 5 (x^{1} x) + 3$

Этап 1.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 5 (x^{1} x^{1}) + 3$

Этап 1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 5 x^{1 + 1} + 3$

Этап 1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 5 x^{2} + 3$

Этап 1.10

Вынесем множитель $y$ из $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = 5 x^{2} + 3$

Этап 1.11

Изменим порядок $y$ и $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = 5 x^{2} + 3$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{2})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{2}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{2}{x}$ и $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 5 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3$

Этап 3.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 3$

Этап 3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 5 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3$

Этап 3.3.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 5 x^{4} + x^{2} \cdot 3$

Этап 3.3.3

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 5 x^{4} + 3 x^{2}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 5 x^{4} + 3 x^{2}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int 5 x^{4} + 3 x^{2} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$x^{2} y = \int 5 x^{4} + 3 x^{2} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$x^{2} y = \int 5 x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x$

Этап 7.2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$x^{2} y = 5 \int x^{4} d x + \int 3 x^{2} d x$

Этап 7.3

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{2} y = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 3 x^{2} d x$

Этап 7.4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$x^{2} y = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 \int x^{2} d x$

Этап 7.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x^{2} y = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 7.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Упростим.

$x^{2} y = 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 7.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{5}$ .

$x^{2} y = \frac{5}{5} x^{5} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 7.6.2.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} y = \frac{5}{5} x^{5} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 7.6.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} y = 1 x^{5} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 7.6.2.3

Умножим $x^{5}$ на $1$ .

$x^{2} y = x^{5} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 7.6.2.4

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} y = x^{5} + \frac{3}{3} x^{3} + C$

Этап 7.6.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.2.5.1

Сократим общий множитель.

$x^{2} y = x^{5} + \frac{3}{3} x^{3} + C$

Этап 7.6.2.5.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} y = x^{5} + 1 x^{3} + C$

Этап 7.6.2.6

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{2} y = x^{5} + x^{3} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $x^{2} y = x^{5} + x^{3} + C$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $x^{2} y = x^{5} + x^{3} + C$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{5}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{5}$ .

$y = \frac{x^{2} x^{3}}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{3}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x^{2} x^{3}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{3}}{1} + \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.3.1.1.2.4

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$y = x^{3} + \frac{x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$y = x^{3} + \frac{x^{2} x}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.2.1

Умножим на $1$ .

$y = x^{3} + \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y = x^{3} + \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y = x^{3} + \frac{x}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Этап 8.3.1.2.2.4

Разделим $x$ на $1$ .

$y = x^{3} + x + \frac{C}{x^{2}}$