Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 5 x^{2} + 1$

Этап 1

Проинтегрируем обе части по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Первая производная равна интегралу от второй производной по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int 5 x^{2} + 1 d x$

Этап 1.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{d y}{d x} = \int 5 x^{2} d x + \int d x$

Этап 1.3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$\frac{d y}{d x} = 5 \int x^{2} d x + \int d x$

Этап 1.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) + \int d x$

Этап 1.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{d y}{d x} = 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{1}) + x + C_{2}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 (\frac{x^{3}}{3} + C_{1}) + x + C_{2}$

Этап 1.6.2

Упростим.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{3}}{3} + x + C_{3}$

Этап 1.6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{3} x^{3} + x + C_{3}$

Этап 2

Перепишем уравнение.

$d y = (\frac{5}{3} x^{3} + x + C_{3}) d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{5}{3} x^{3} + x + C_{3} d x$

Этап 3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{4} = \int \frac{5}{3} x^{3} + x + C_{3} d x$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{4} = \int \frac{5}{3} x^{3} d x + \int x d x + \int C_{3} d x$

Этап 3.3.2

Поскольку $\frac{5}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{5}{3}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{4} = \frac{5}{3} \int x^{3} d x + \int x d x + \int C_{3} d x$

Этап 3.3.3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{4} = \frac{5}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{5}) + \int x d x + \int C_{3} d x$

Этап 3.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{4} = \frac{5}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{5}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6} + \int C_{3} d x$

Этап 3.3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{4} = \frac{5}{3} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{5}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{6} + C_{3} x + C_{7}$

Этап 3.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Упростим.

$y + C_{4} = \frac{5 x^{4}}{12} + \frac{x^{2}}{2} + C_{3} x + C_{8}$

Этап 3.3.6.2

Изменим порядок членов.

$y + C_{4} = \frac{5}{12} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3} x + C_{8}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$y = \frac{5}{12} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + D$