Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + 2 y^{2}} \cos (x)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1 + 2 y^{2}}{y}$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + 2 y^{2}} \cos (x))$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим $\frac{y}{1 + 2 y^{2}}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $1 + 2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + 2 y^{2}}$

Этап 1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y \cos (x)$ .

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Этап 1.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Этап 1.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{1}{y} + \frac{2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $y$ из $2 y^{2}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3.2.3

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3.2.4

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.3.2.5

Разделим $2 y$ на $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int 2 y d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int 2 y d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} + 2 \int y d y = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.6

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Упростим.

$\ln (| y |) + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.7.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.7.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + 1 y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.7.2.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$\ln (| y |) + y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.2.8

Изменим порядок членов.

$y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$