Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = y \sec (x)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sec (x))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y \sec (x)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\sec (x)))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sec (x))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \sec (x)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \sec (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sec (x) d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sec (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\sec (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) = C$

Этап 3.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| \sec (x) + \tan (x) |}) = C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| \sec (x) + \tan (x) |})} = e^{C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| y |}{| \sec (x) + \tan (x) |}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{| \sec (x) + \tan (x) |}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y |}{| \sec (x) + \tan (x) |} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{| \sec (x) + \tan (x) |} = e^{C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на $| \sec (x) + \tan (x) |$ .

$\frac{| y |}{| \sec (x) + \tan (x) |} | \sec (x) + \tan (x) | = e^{C} | \sec (x) + \tan (x) |$

Этап 3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель $| \sec (x) + \tan (x) |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y |}{| \sec (x) + \tan (x) |} | \sec (x) + \tan (x) | = e^{C} | \sec (x) + \tan (x) |$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | = e^{C} | \sec (x) + \tan (x) |$

Этап 3.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} | \sec (x) + \tan (x) |$ .

$| y | = | \sec (x) + \tan (x) | e^{C}$

Этап 3.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | \sec (x) + \tan (x) | e^{C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm | \sec (x) + \tan (x) | C$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C | \sec (x) + \tan (x) |$