Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{2}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода Бернулли.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{2}$

Этап 1.2

Изменим порядок $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{2}$

Этап 2

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть $v = y^{1 - n}$ , где $n$ — показатель степени $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Этап 3

Решим уравнение относительно $y$ .

$y = v^{- 1}$

Этап 4

Возьмем производную $y$ по $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Этап 5

Возьмем производную $v^{- 1}$ по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возьмем производную от $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Этап 5.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 5.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 5.4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 5.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Умножим $v$ на $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 5.4.3.2

Вычтем $\frac{d}{d x} [v]$ из $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 5.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 5.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Этап 6

Подставим $- \frac{v'}{v^{2}}$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $v^{- 1}$ вместо $y$ в исходное уравнение $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = {(v^{- 1})}^{2}$

Этап 7

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Каждый член в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = {(v^{- 1})}^{2}$ умножим на $- v^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Умножим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{1}{x} v^{- 1} = {(v^{- 1})}^{2}$ на $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 7.1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.1

Сократим общий множитель $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ в числитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 7.1.1.2.1.1.2

Вынесем множитель $v^{2}$ из $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 7.1.1.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 7.1.1.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 7.1.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 7.1.1.2.1.3

Умножим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- 1} (- v^{2}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 7.1.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{- 1} v^{2} = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 7.1.1.2.1.5

Умножим $v^{- 1}$ на $v^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.2.1.5.1

Перенесем $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} (v^{2} v^{- 1}) = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 7.1.1.2.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{2 - 1} = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 7.1.1.2.1.5.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v^{1} = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 7.1.1.2.1.6

Упростим $- \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 7.1.1.2.1.7

Объединим $v$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Этап 7.1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Этап 7.1.1.3.2

Перемножим экспоненты в ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Этап 7.1.1.3.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - v^{- 2} v^{2}$

Этап 7.1.1.3.3

Умножим $v^{- 2}$ на $v^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.1

Перенесем $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - (v^{2} v^{- 2})$

Этап 7.1.1.3.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - v^{2 - 2}$

Этап 7.1.1.3.3.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - v^{0}$

Этап 7.1.1.3.4

Упростим $- v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{x} = - 1$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $v$ из $- \frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{1}{x}) = - 1$

Этап 7.1.3

Изменим порядок $v$ и $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x} v = - 1$

Этап 7.2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Этап 7.2.2

Проинтегрируем $- \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 7.2.2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Этап 7.2.2.3

Упростим.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Этап 7.2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \ln (x)}$

Этап 7.2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Этап 7.2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 1}$

Этап 7.2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 7.3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Этап 7.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Этап 7.3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} v) = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Этап 7.3.2.3

Объединим $\frac{1}{x}$ и $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Этап 7.3.2.4

Умножим $- \frac{1}{x} \cdot \frac{v}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.4.1

Умножим $\frac{v}{x}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Этап 7.3.2.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Этап 7.3.2.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Этап 7.3.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Этап 7.3.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot - 1$

Этап 7.3.3

Объединим $\frac{1}{x}$ и $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{- 1}{x}$

Этап 7.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = - \frac{1}{x}$

Этап 7.4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] = - \frac{1}{x}$

Этап 7.5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} v] d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 7.6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x} v = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 7.7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x} v = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.7.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} v = - (\ln (| x |) + C)$

Этап 7.7.3

Упростим.

$\frac{1}{x} v = - \ln (| x |) + C$

Этап 7.8

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $v$ .

$\frac{v}{x} = - \ln (| x |) + C$

Этап 7.8.2

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{v}{x} x = (- \ln (| x |) + C) x$

Этап 7.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{v}{x} x = (- \ln (| x |) + C) x$

Этап 7.8.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$v = (- \ln (| x |) + C) x$

Этап 7.8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.2.1

Упростим $(- \ln (| x |) + C) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v = - \ln (| x |) x + C x$

Этап 7.8.3.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.3.2.1.2.1

Изменим порядок множителей в $- \ln (| x |) x + C x$ .

$v = - x \ln (| x |) + C x$

Этап 7.8.3.2.1.2.2

Изменим порядок $- x \ln (| x |)$ и $C x$ .

$v = C x - x \ln (| x |)$

Этап 8

Подставим $y^{- 1}$ вместо $v$ .

$y^{- 1} = C x - x \ln (| x |)$