Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 6 x (y^{2} + 1)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (6 x (y^{2} + 1))$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y^{2} + 1} (x (y^{2} + 1))$

Этап 1.2.2

Объединим $6$ и $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2} + 1} (x (y^{2} + 1))$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $y^{2} + 1$ из $x (y^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) x)$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2} + 1} ((y^{2} + 1) x)$

Этап 1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 6 x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 6 x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int 6 x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int 6 x d x$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int 6 x d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 6 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$\arctan (y) + C_{1} = 6 \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\arctan (y) + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\arctan (y) = 3 x^{2} + K$

Этап 3

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (3 x^{2} + K)$