Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x} + \frac{1}{x}$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\arctan (y) = \ln (| x |) + C$

Этап 3

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арктангенса.

$y = \tan (\ln (| x |) + C)$