Математический анализ Примеры

$(y + 2) d x + (x - 2) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(y + 2) d x$ из обеих частей уравнения.

$(x - 2) d y = - (y + 2) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(x - 2) (y + 2)}$ .

$\frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (x - 2) d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (x - 2) d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{(x - 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $y + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(x - 2) (y + 2)}$ в числитель.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(x - 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y + 2$ из $(x - 2) (y + 2)$ .

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (x - 2)} (y + 2) d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (x - 2)} (y + 2) d x$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{x - 2} d x$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{x - 2} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u_{1} = y + 2$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u_{1} = y + 2$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Этап 4.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y + 2$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Этап 4.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Этап 4.2.1.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 2} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x - 2} d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u_{2} = x - 2$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u_{2} = x - 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 4.3.2.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 4.3.2.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.3.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.3

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 4.3.4

Упростим.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 4.3.5

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \ln (| x - 2 |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y + 2 |) = - \ln (| x - 2 |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y + 2 |) + \ln (| x - 2 |) = C$

Этап 5.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y + 2 | | x - 2 |) = C$

Этап 5.3

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| (y + 2) (x - 2) |) = C$

Этап 5.4

Развернем $(y + 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y (x - 2) + 2 (x - 2) |) = C$

Этап 5.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y x + y \cdot - 2 + 2 (x - 2) |) = C$

Этап 5.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| y x + y \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Этап 5.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перенесем $- 2$ влево от $y$ .

$\ln (| y x - 2 \cdot y + 2 x + 2 \cdot - 2 |) = C$

Этап 5.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |) = C$

Этап 5.6

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |)} = e^{C}$

Этап 5.7

Перепишем $\ln (| y x - 2 y + 2 x - 4 |) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x - 2 y + 2 x - 4 |$

Этап 5.8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Перепишем уравнение в виде $| y x - 2 y + 2 x - 4 | = e^{C}$ .

$| y x - 2 y + 2 x - 4 | = e^{C}$

Этап 5.8.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y x - 2 y + 2 x - 4 = \pm e^{C}$

Этап 5.8.3

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$y x - 2 y - 4 = \pm e^{C} - 2 x$

Этап 5.8.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y x - 2 y = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Этап 5.8.4

Вынесем множитель $y$ из $y x - 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1

Вынесем множитель $y$ из $y x$ .

$y (x) - 2 y = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Этап 5.8.4.2

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Этап 5.8.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$

Этап 5.8.5

Разделим каждый член $y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$ на $x - 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.5.1

Разделим каждый член $y (x - 2) = \pm e^{C} - 2 x + 4$ на $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Этап 5.8.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.5.2.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Этап 5.8.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} + \frac{- 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Этап 5.8.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.5.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\pm e^{C}}{x - 2} - \frac{2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Этап 5.8.5.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{C} - 2 x}{x - 2} + \frac{4}{x - 2}$

Этап 5.8.5.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{C} - 2 x + 4}{x - 2}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C - 2 x + 4}{x - 2}$