Математический анализ Примеры

$\frac{d z}{d x} - x z = - x$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - x d x}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $- x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int x d x}$

Этап 1.2.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Этап 1.2.3

Перепишем $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$e^{- \frac{1}{2} x^{2} + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$

Этап 1.4

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d z}{d x} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x z) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x)$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d z}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x z) = e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- x)$

Этап 2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d z}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x z) = - e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d z}{d x} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x z) = - e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d z}{d x} - x z e^{- \frac{x^{2}}{2}} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} z] = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}} z] d x = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} z = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} z = - \int x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Этап 6.2

Пусть $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ . Тогда $d u_{2} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$ , следовательно $\frac{1}{- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Пусть $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Дифференцируем $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$

Этап 6.2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Этап 6.2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Этап 6.2.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Этап 6.2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{2}}{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 6.2.1.3.2

Объединим $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 6.2.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Этап 6.2.1.3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Этап 6.2.1.3.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Этап 6.2.1.3.4.3

Объединим $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ и $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Этап 6.2.1.3.4.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

Этап 6.2.1.3.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Этап 6.2.1.3.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.1.3.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

Этап 6.2.1.3.4.4.2.4

Разделим $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ на $1$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Этап 6.2.1.3.4.5

Изменим порядок множителей в $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ .

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Этап 6.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} z = - \int - 1 d u_{2}$

Этап 6.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} z = - (- u_{2} + C)$

Этап 6.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} z = - - u_{2} + C$

Этап 6.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} z = 1 u_{2} + C$

Этап 6.4.2.2

Умножим $u_{2}$ на $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} z = u_{2} + C$

Этап 6.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} z = e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C$

Этап 6.4.4

Изменим порядок членов.

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} z = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{- \frac{x^{2}}{2}} z = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C$ на $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{- \frac{x^{2}}{2}} z = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C$ на $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} z}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{e^{- \frac{1}{2} x^{2}}}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} z}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} = \frac{e^{- \frac{1}{2} x^{2}}}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $z$ на $1$ .

$z = \frac{e^{- \frac{1}{2} x^{2}}}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$ и $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Вынесем множитель $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ из $e^{- \frac{1}{2} x^{2}}$ .

$z = \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{\frac{- \frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2}}}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$z = \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{\frac{- \frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2}}}{e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$z = \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}} e^{\frac{- \frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2}}}{e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$z = \frac{e^{\frac{- \frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.1.2.4

Разделим $e^{\frac{- \frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2}}$ на $1$ .

$z = e^{\frac{- \frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- \frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- \frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$z = e^{\frac{x^{2} (- \frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.2.1.2

Умножим на $1$ .

$z = e^{\frac{x^{2} (- \frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2}} + \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (- \frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ .

$z = e^{\frac{x^{2} (- \frac{1}{2} \cdot 2 + 1)}{2}} + \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$z = e^{\frac{x^{2} (\frac{- 1}{2} \cdot 2 + 1)}{2}} + \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$z = e^{\frac{x^{2} (\frac{- 1}{2} \cdot 2 + 1)}{2}} + \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$z = e^{\frac{x^{2} (- 1 + 1)}{2}} + \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.2.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$z = e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $0$ .

$z = e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.4

Разделим $0$ на $2$ .

$z = e^{0} + \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$z = 1 + \frac{C}{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}$