Математический анализ Примеры

$x^{3} d x + {(y + 1)}^{2} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $x^{3} d x$ из обеих частей уравнения.

${(y + 1)}^{2} d y = - x^{3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int {(y + 1)}^{2} d y = \int - x^{3} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = y + 1$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = y + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{2} d u = \int - x^{3} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y + 1$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = \int - x^{3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \int x^{3} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Перепишем $- (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ в виде $- \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3} = - \frac{1}{4} x^{4} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3}) = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} {(y + 1)}^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(y + 1)}^{3}$ .

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{{(y + 1)}^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (- \frac{1}{4} x^{4} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $x^{4}$ и $\frac{1}{4}$ .

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(y + 1)}^{3} = 3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $3 (- \frac{x^{4}}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

${(y + 1)}^{3} = - 3 \frac{x^{4}}{4} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{x^{4}}{4}$ .

${(y + 1)}^{3} = \frac{- 3 x^{4}}{4} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

${(y + 1)}^{3} = - \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Этап 3.4

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем.

$y + 1 = 0 + 0 + \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Этап 3.4.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 1 = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $3$ из $- \frac{3 x^{4}}{4} + 3 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- \frac{3 x^{4}}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $3$ из $3 K$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K}$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- \frac{x^{4}}{4}) + 3 K$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K)}$

Этап 3.4.4

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

Этап 3.4.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Объединим $K$ и $\frac{4}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 (- \frac{x^{4}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

Этап 3.4.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + K \cdot 4}{4}}$

Этап 3.4.6

Перенесем $4$ влево от $K$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{3 \frac{- x^{4} + 4 K}{4}}$

Этап 3.4.7

Объединим $3$ и $\frac{- x^{4} + 4 K}{4}$ .

$y + 1 = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$

Этап 3.4.8

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{3 (- x^{4} + 4 K)}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 3.4.9

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 3.4.10

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 3.4.10.2

Возведем $\sqrt[3]{4}$ в степень $1$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 3.4.10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Этап 3.4.10.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Этап 3.4.10.5

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ в виде $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4}$ в виде $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.4.10.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.4.10.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.10.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.10.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Этап 3.4.10.5.5

Найдем экспоненту.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Этап 3.4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.1

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Этап 3.4.11.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

Этап 3.4.11.3

Перепишем $16$ в виде $2^{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.3.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Этап 3.4.11.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Этап 3.4.11.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Этап 3.4.11.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.11.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{3 (- x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

Этап 3.4.11.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

Этап 3.4.12

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}$ .

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{4}$

Этап 3.4.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.12.2.2

Сократим общий множитель.

$y + 1 = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.12.2.3

Перепишем это выражение.

$y + 1 = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2}$

Этап 3.5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$

Этап 3.6

Упростим $\frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.6.2

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Этап 3.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 3.6.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + 4 K)} - 2}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- x^{4} + K)} - 2}{2}$