Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} e^{x} y^{- 2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{- 2}}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{- 2}} (- \frac{1}{4} e^{x} y^{- 2})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{y^{- 2}} (e^{x} y^{- 2})$

Этап 1.2.2

Перенесем $y^{- 2}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} y^{2} (e^{x} y^{- 2})$

Этап 1.2.3

Умножим $y^{2}$ на $y^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перенесем $y^{- 2}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} (y^{- 2} y^{2}) e^{x}$

Этап 1.2.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} y^{- 2 + 2} e^{x}$

Этап 1.2.3.3

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} y^{0} e^{x}$

Этап 1.2.4

Упростим $- \frac{1}{4} y^{0} e^{x}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4} e^{x}$

Этап 1.2.5

Объединим $e^{x}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{y^{- 2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{e^{x}}{4}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{- 2}} d y = - \frac{e^{x}}{4} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{- 2}} d y = \int - \frac{e^{x}}{4} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $y^{- 2}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$\int y^{2} d y = \int - \frac{e^{x}}{4} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{4} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{4} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{4} \int e^{x} d x)$

Этап 2.3.3

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} (e^{x} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{4} e^{x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{4} e^{x} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (- \frac{1}{4} e^{x} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $e^{x}$ и $\frac{1}{4}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{e^{x}}{4} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $3 (- \frac{e^{x}}{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{e^{x}}{4} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{e^{x}}{4}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 e^{x}}{4} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = - \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K}$

Этап 3.4

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- \frac{3 e^{x}}{4} + 3 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- \frac{3 e^{x}}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- \frac{e^{x}}{4}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4} + K)}$

Этап 3.4.2

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4} + K \cdot \frac{4}{4})}$

Этап 3.4.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим $K$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{e^{x}}{4} + \frac{K \cdot 4}{4})}$

Этап 3.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- e^{x} + K \cdot 4}{4}}$

Этап 3.4.4

Перенесем $4$ влево от $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- e^{x} + 4 K}{4}}$

Этап 3.4.5

Объединим $3$ и $\frac{- e^{x} + 4 K}{4}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- e^{x} + 4 K)}{4}}$

Этап 3.4.6

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{3 (- e^{x} + 4 K)}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 3.4.7

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 3.4.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)}}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 3.4.8.2

Возведем $\sqrt[3]{4}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 3.4.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Этап 3.4.8.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Этап 3.4.8.5

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ в виде $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4}$ в виде $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.4.8.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.4.8.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.8.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.8.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Этап 3.4.8.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Этап 3.4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.1

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Этап 3.4.9.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{16}}{4}$

Этап 3.4.9.3

Перепишем $16$ в виде $2^{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.3.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Этап 3.4.9.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Этап 3.4.9.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K)} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Этап 3.4.9.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{3 (- e^{x} + 4 K) \cdot 2}}{4}$

Этап 3.4.9.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{4}$

Этап 3.4.10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.10.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.10.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- e^{x} + 4 K)}}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt[3]{6 (- e^{x} + K)}}{2}$