Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + x y = 3 y + x - 3$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} = 3 y + x - 3 - x y$

Этап 1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Изменим порядок членов.

$\frac{d y}{d x} = - x y + x + 3 y - 3$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{d y}{d x} = (- x y + x) + 3 y - 3$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{d y}{d x} = x (- 1 y + 1) - 3 (- y + 1)$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 1 y + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (- 1 y + 1) (x - 3)$

Этап 1.2.4

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = (- y + 1) (x - 3)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{- y + 1}$ .

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 1} ((- y + 1) (x - 3))$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $- y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 1} ((- y + 1) (x - 3))$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- y + 1} \frac{d y}{d x} = x - 3$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{- y + 1} d y = (x - 3) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{- y + 1} d y = \int x - 3 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = - y + 1$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = - y + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int x - 3 d x$

Этап 2.2.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int x - 3 d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int x - 3 d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x - 3 d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int x - 3 d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $- y + 1$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int x - 3 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \int x d x + \int - 3 d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 3 d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - 3 x + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$- \ln (| - y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- \ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- \ln (| - y + 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + C$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y + 1 |)}{- 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 3 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| - y + 1 |)}{1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 3 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $\ln (| - y + 1 |)$ на $1$ .

$\ln (| - y + 1 |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1} + \frac{- 3 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{- 3 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\frac{1}{2} x^{2})$ в виде $- (\frac{1}{2} x^{2})$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - (\frac{1}{2} x^{2}) + \frac{- 3 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 3 x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 3 x}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - \frac{x^{2}}{2} - 1 \cdot (- 3 x) + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.5

Перепишем $- 1 \cdot (- 3 x)$ в виде $- (- 3 x)$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - \frac{x^{2}}{2} - (- 3 x) + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.6

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.7

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 1 \cdot C$

Этап 3.1.3.1.8

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| - y + 1 |) = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| - y + 1 |)} = e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (| - y + 1 |) = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C} = | - y + 1 |$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $| - y + 1 | = e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}$ .

$| - y + 1 | = e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}$

Этап 3.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$- y + 1 = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}$

Этап 3.4.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C} - 1$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C} - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $- y = \pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C} - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Чтобы записать $\frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}}{- 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.2

Чтобы записать $\frac{- 1}{- 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $1$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.3.1

Умножим $\frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}}{- 1}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 1}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.3.3

Умножим $\frac{- 1}{- 1}$ на $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- - 1}{- - 1}$

Этап 3.4.4.3.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}) \cdot - 1}{1} + \frac{- - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{(\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}) \cdot - 1 - - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.5.1

Перенесем $- 1$ влево от $\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}) - - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.5.2

Перепишем $- 1 (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C})$ в виде $- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}) - - 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}) + 1}{1}$

Этап 3.4.4.3.6

Разделим $- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}) + 1$ на $1$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x - C}) + 1$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C}) + 1$

Этап 4.2

Перепишем $e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x + C}$ в виде $e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x} e^{C}) + 1$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x}$ и $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x}) + 1$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = - (C e^{- \frac{x^{2}}{2} + 3 x}) + 1$