Математический анализ Примеры

$x (1 + 3 y^{2}) d y - (1 + 2 x^{2}) d x = 0$

Этап 1

Добавим $(1 + 2 x^{2}) d x$ к обеим частям уравнения.

$x (1 + 3 y^{2}) d y = (1 + 2 x^{2}) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x (1 + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x} (x (1 + 3 y^{2})) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$(1 + 3 y^{2}) d y = \frac{1}{x} (1 + 2 x^{2}) d x$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1 + 2 x^{2}$ .

$(1 + 3 y^{2}) d y = \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 1 + 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d y + \int 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Этап 4.2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} + \int 3 y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Этап 4.2.3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} + 3 \int y^{2} d y = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Этап 4.2.4

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$y + C_{1} + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{2}) = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Этап 4.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Упростим.

$y + 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Этап 4.2.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + \frac{3}{3} y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Этап 4.2.5.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y + \frac{3}{3} y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Этап 4.2.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y + 1 y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Этап 4.2.5.2.3

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$y + y^{3} + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Этап 4.2.6

Изменим порядок членов.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1 + 2 x^{2}}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} d x$

Этап 4.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x^{2}}{x} d x$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x} d x$

Этап 4.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x$

Этап 4.3.3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x$

Этап 4.3.3.2.3

Сократим общий множитель.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x$

Этап 4.3.3.2.4

Перепишем это выражение.

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{2 x}{1} d x$

Этап 4.3.3.2.5

Разделим $2 x$ на $1$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x + \int 2 x d x$

Этап 4.3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int 2 x d x$

Этап 4.3.5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + 2 \int x d x$

Этап 4.3.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5})$

Этап 4.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Упростим.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{6}$

Этап 4.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{2}{2} x^{2} + C_{6}$

Этап 4.3.7.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{2}{2} x^{2} + C_{6}$

Этап 4.3.7.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + 1 x^{2} + C_{6}$

Этап 4.3.7.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$y^{3} + y + C_{3} = \ln (| x |) + x^{2} + C_{6}$

Этап 4.3.8

Изменим порядок членов.

$y^{3} + y + C_{3} = x^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y^{3} + y = x^{2} + \ln (| x |) + C$