Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{{(1 - \tan (x))}^{5}}{\cos^{2} (x)} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в $\sec^{2} (x)$ .

$y + C_{1} = \int {(1 - \tan (x))}^{5} \sec^{2} (x) d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 1 - \tan (x)$ . Тогда $d u = - \sec^{2} (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 1 - \tan (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $1 - \tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]$

Этап 2.3.2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Этап 2.3.2.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Этап 2.3.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \tan (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 2.3.2.1.3.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$0 - \sec^{2} (x)$

Этап 2.3.2.1.4

Вычтем $\sec^{2} (x)$ из $0$ .

$- \sec^{2} (x)$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int - u^{5} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int u^{5} d u$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $u^{5}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$y + C_{1} = - (\frac{1}{6} u^{6} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Перепишем $- (\frac{1}{6} u^{6} + C_{2})$ в виде $- \frac{1}{6} u^{6} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} u^{6} + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $1 - \tan (x)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{6} {(1 - \tan (x))}^{6} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \frac{1}{6} {(1 - \tan (x))}^{6} + K$