Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + x y = x y^{2}$

Этап 1

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть $v = y^{1 - n}$ , где $n$ — показатель степени $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Этап 2

Решим уравнение относительно $y$ .

$y = v^{- 1}$

Этап 3

Возьмем производную $y$ по $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Этап 4

Возьмем производную $v^{- 1}$ по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем производную от $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Этап 4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Умножим $v$ на $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.3.2

Вычтем $\frac{d}{d x} [v]$ из $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Этап 4.5

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Этап 5

Подставим $- \frac{v'}{v^{2}}$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $v^{- 1}$ вместо $y$ в исходное уравнение $\frac{d y}{d x} + x y = x y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + x v^{- 1} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d v}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + x \frac{1}{v} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Этап 6.1.1.1.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{v}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x {(v^{- 1})}^{2}$

Этап 6.1.1.2

Упростим $x {(v^{- 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(v^{- 1})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x v^{- 1 \cdot 2}$

Этап 6.1.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x v^{- 2}$

Этап 6.1.1.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = x \frac{1}{v^{2}}$

Этап 6.1.1.2.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{v^{2}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{x}{v} = \frac{x}{v^{2}}$

Этап 6.1.1.3

Вычтем $\frac{x}{v}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$

Этап 6.1.1.4

Разделим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.4.1

Разделим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{x}{v^{2}} - \frac{x}{v}$ на $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Этап 6.1.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Этап 6.1.1.4.2.2

Разделим $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ на $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Этап 6.1.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{x}{v^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - 1 \cdot \frac{x}{v^{2}} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Этап 6.1.1.4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{x}{v^{2}}$ в виде $- \frac{x}{v^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{- \frac{x}{v}}{- 1}$

Этап 6.1.1.4.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{\frac{x}{v}}{1}$

Этап 6.1.1.4.3.1.4

Разделим $\frac{x}{v}$ на $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}$

Этап 6.1.1.5

Умножим обе части на $v^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Этап 6.1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.6.1.1

Сократим общий множитель $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.6.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Этап 6.1.1.6.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$

Этап 6.1.1.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.6.2.1

Упростим $(- \frac{x}{v^{2}} + \frac{x}{v}) v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.6.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Этап 6.1.1.6.2.1.2

Сократим общий множитель $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.6.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x}{v^{2}}$ в числитель.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Этап 6.1.1.6.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- x}{v^{2}} v^{2} + \frac{x}{v} v^{2}$

Этап 6.1.1.6.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} v^{2}$

Этап 6.1.1.6.2.1.3

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.6.2.1.3.1

Вынесем множитель $v$ из $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} (v \cdot v)$

Этап 6.1.1.6.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d v}{d x} = - x + \frac{x}{v} (v \cdot v)$

Этап 6.1.1.6.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d v}{d x} = - x + x v$

Этап 6.1.1.6.2.1.4

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.6.2.1.4.1

Изменим порядок $x$ и $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - x + v x$

Этап 6.1.1.6.2.1.4.2

Изменим порядок $- x$ и $v x$ .

$\frac{d v}{d x} = v x - x$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $x$ из $v x - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $v x$ .

$\frac{d v}{d x} = x v - x$

Этап 6.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\frac{d v}{d x} = x v + x \cdot - 1$

Этап 6.1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x v + x \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} = x (v - 1)$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{v - 1}$ .

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} (x (v - 1))$

Этап 6.1.4

Сократим общий множитель $v - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $v - 1$ из $x (v - 1)$ .

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} ((v - 1) x)$

Этап 6.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v - 1} ((v - 1) x)$

Этап 6.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{v - 1} \frac{d v}{d x} = x$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{v - 1} d v = x d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{v - 1} d v = \int x d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Пусть $u = v - 1$ . Тогда $d u = d v$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Пусть $u = v - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d v}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Дифференцируем $v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [v - 1]$

Этап 6.2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $v - 1$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Этап 6.2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Этап 6.2.2.1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $v$ , производная $- 1$ относительно $v$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Этап 6.2.2.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Этап 6.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $v - 1$ .

$\ln (| v - 1 |) + C_{1} = \int x d x$

Этап 6.2.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| v - 1 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| v - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 6.3

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы решить относительно $v$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| v - 1 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Этап 6.3.2

Перепишем $\ln (| v - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | v - 1 |$

Этап 6.3.3

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| v - 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| v - 1 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Этап 6.3.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$| v - 1 | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Этап 6.3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$v - 1 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Этап 6.3.3.4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$v = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C} + 1$

Этап 6.4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перепишем $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ в виде $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$v = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C} + 1$

Этап 6.4.2

Изменим порядок $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ и $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$

Этап 6.4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$v = C e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$

Этап 7

Подставим $y^{- 1}$ вместо $v$ .

$y^{- 1} = C e^{\frac{x^{2}}{2}} + 1$