Математический анализ Примеры

$(1 + y) d x - (1 - x) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $(1 + y) d x$ из обеих частей уравнения.

$- (1 - x) d y = - (1 + y) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ .

$\frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 - x)) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ в числитель.

$\frac{- 1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{(1 - x) (1 + y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $1 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(1 - x) (1 + y)}$ в числитель.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 - x) (1 + y)} (1 + y) d x$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $1 + y$ из $(1 - x) (1 + y)$ .

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

Этап 3.5.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x)} (1 + y) d x$

Этап 3.5.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1 - x} d x$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int - \frac{1}{1 + y} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{1 + y} d y = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 4.2.2

Пусть $u_{1} = 1 + y$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Пусть $u_{1} = 1 + y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Дифференцируем $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 4.2.2.1.2

По правилу суммы производная $1 + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 4.2.2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 4.2.2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 4.2.2.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 4.2.3

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 4.2.4

Упростим.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 4.2.5

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + y$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u_{2} = 1 - x$ . Тогда $d u_{2} = - d x$ , следовательно $- d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u_{2} = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 4.3.2.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = - - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.5.2

Умножим $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ на $1$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 4.3.6

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 4.3.7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - x$ .

$- \ln (| 1 + y |) + C_{1} = \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| 1 + y |) = \ln (| 1 - x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 - x |) = C$

Этап 5.2

Добавим $\ln (| 1 - x |)$ к обеим частям уравнения.

$- \ln (| 1 + y |) = C + \ln (| 1 - x |)$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- \ln (| 1 + y |) = C + \ln (| 1 - x |)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- \ln (| 1 + y |) = C + \ln (| 1 - x |)$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 + y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| 1 + y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Этап 5.3.2.2

Разделим $\ln (| 1 + y |)$ на $1$ .

$\ln (| 1 + y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 + y |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Этап 5.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| 1 + y |) = - C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Этап 5.3.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (| 1 - x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 1 + y |) = - C - 1 \cdot \ln (| 1 - x |)$

Этап 5.3.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot \ln (| 1 - x |)$ в виде $- \ln (| 1 - x |)$ .

$\ln (| 1 + y |) = - C - \ln (| 1 - x |)$

Этап 5.4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 1 + y |) + \ln (| 1 - x |) = - C$

Этап 5.5

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + y | | 1 - x |) = - C$

Этап 5.6

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| (1 + y) (1 - x) |) = - C$

Этап 5.7

Развернем $(1 + y) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 (1 - x) + y (1 - x) |) = - C$

Этап 5.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y (1 - x) |) = - C$

Этап 5.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = - C$

Этап 5.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\ln (| 1 + 1 (- x) + y \cdot 1 + y (- x) |) = - C$

Этап 5.8.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$\ln (| 1 - x + y \cdot 1 + y (- x) |) = - C$

Этап 5.8.3

Умножим $y$ на $1$ .

$\ln (| 1 - x + y + y (- x) |) = - C$

Этап 5.8.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\ln (| 1 - x + y - y x |) = - C$

Этап 5.9

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 1 - x + y - y x |)} = e^{- C}$

Этап 5.10

Перепишем $\ln (| 1 - x + y - y x |) = - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | 1 - x + y - y x |$

Этап 5.11

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Перепишем уравнение в виде $| 1 - x + y - y x | = e^{- C}$ .

$| 1 - x + y - y x | = e^{- C}$

Этап 5.11.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 - x + y - y x = \pm e^{- C}$

Этап 5.11.3

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x + y - y x = \pm e^{- C} - 1$

Этап 5.11.3.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$y - y x = \pm e^{- C} - 1 + x$

Этап 5.11.4

Вынесем множитель $y$ из $y - y x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{- C} - 1 + x$

Этап 5.11.4.2

Вынесем множитель $y$ из $- y x$ .

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

Этап 5.11.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot 1 + y (- 1 x)$ .

$y (1 - 1 x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

Этап 5.11.5

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$

Этап 5.11.6

Разделим каждый член $y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$ на $1 - x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.6.1

Разделим каждый член $y (1 - x) = \pm e^{- C} - 1 + x$ на $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Этап 5.11.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.6.2.1

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Этап 5.11.6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} + \frac{- 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Этап 5.11.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{1 - x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Этап 5.11.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 1}{1 - x} + \frac{x}{1 - x}$

Этап 5.11.6.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 1 + x}{1 - x}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C + x}{1 - x}$