Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x y^{2}}{x^{2} y - x^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} + x y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 1 + x y^{2}}{x^{2} y - x^{2}}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} x}{x^{2} y - x^{2}}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} \cdot 1 + y^{2} x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} \cdot (1 + x)}{x^{2} y - x^{2}}$

Этап 1.1.4

Умножим $y^{2}$ на $1 + x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} y - x^{2}}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} y - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y) - x^{2}}$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y) + x^{2} \cdot - 1}$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (y) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2} (y - 1)}$

Этап 1.3

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{y - 1} \cdot \frac{1 + x}{x^{2}}$

Этап 1.4

Умножим обе части на $\frac{y - 1}{y^{2}}$ .

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{y - 1} \cdot \frac{1 + x}{x^{2}})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $\frac{y^{2}}{y - 1}$ на $\frac{1 + x}{x^{2}}$ .

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) x^{2}}$

Этап 1.5.2

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $y - 1$ из $(y - 1) x^{2}$ .

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) (x^{2})}$

Этап 1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{(y - 1) x^{2}}$

Этап 1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2}}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + x)}{x^{2}}$

Этап 1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y - 1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x^{2}}$

Этап 1.6

Перепишем уравнение.

$\frac{y - 1}{y^{2}} d y = \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y - 1}{y^{2}} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (y - 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y - 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (y - 1) y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Умножим $(y - 1) y^{- 2}$ .

$\int y \cdot y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $y$ на $y^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Умножим $y$ на $y^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int y^{1} y^{- 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int y^{1 - 2} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3.1.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\int y^{- 1} - 1 y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.3.2

Перепишем $- 1 y^{- 2}$ в виде $- y^{- 2}$ .

$\int y^{- 1} - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y^{- 1} d y + \int - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.5

Интеграл $y^{- 1}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.7

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Упростим.

$\ln (| y |) - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (| y |) + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.8.2.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $1$ .

$\ln (| y |) + \frac{1}{y} + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.9

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int (1 + x) x^{- 2} d x$

Этап 2.3.2

Умножим $(1 + x) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.2

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x$

Этап 2.3.3.2.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} + x^{- 1} d x$

Этап 2.3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - x^{- 1} + C_{4} + \int x^{- 1} d x$

Этап 2.3.6

Интеграл $x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - x^{- 1} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Этап 2.3.7

Упростим.

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{y} + \ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$