Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

Этап 1

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + e^{V}$

Этап 2

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 3

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 4

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + e^{V}$

Этап 5

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = V + e^{V} - V$

Этап 5.1.1.1.2

Объединим противоположные члены в $V + e^{V} - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.2.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 0 + e^{V}$

Этап 5.1.1.1.2.2

Добавим $0$ и $e^{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = e^{V}$

Этап 5.1.1.2

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = e^{V}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

Этап 5.1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{e^{V}}{x}$

Этап 5.1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{e^{V}}{x}$

Этап 5.1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{V}}$ .

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{e^{V}} \cdot \frac{e^{V}}{x}$

Этап 5.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Объединим.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

Этап 5.1.3.2

Сократим общий множитель $e^{V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 e^{V}}{e^{V} x}$

Этап 5.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{V}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 5.1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{e^{V}} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{e^{V}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{V}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(e^{V})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{V})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{V \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.1.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $V$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.1.2.1.3

Перепишем $- 1 V$ в виде $- V$ .

$\int 1 e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.1.2.2

Умножим $e^{- V}$ на $1$ .

$\int e^{- V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.2

Пусть $u = - V$ . Тогда $d u = - d V$ , следовательно $- d u = d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Пусть $u = - V$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1.1

Дифференцируем $- V$ .

$\frac{d}{d V} [- V]$

Этап 5.2.2.2.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $V$ , производная $- V$ по $V$ равна $- \frac{d}{d V} [V]$ .

$- \frac{d}{d V} [V]$

Этап 5.2.2.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 5.2.2.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 5.2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int e^{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.5

Упростим.

$- e^{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $- V$ .

$- e^{- V} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 5.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- e^{- V} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 5.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- e^{- V} = \ln (| x |) + C$

Этап 5.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Разделим каждый член $- e^{- V} = \ln (| x |) + C$ на $- 1$ .

$\frac{- e^{- V}}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{e^{- V}}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3.1.2.2

Разделим $e^{- V}$ на $1$ .

$e^{- V} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$e^{- V} = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3.1.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \ln (| x |)$ в виде $- \ln (| x |)$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Этап 5.3.1.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Этап 5.3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$e^{- V} = - \ln (| x |) - C$

Этап 5.3.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- V}) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Этап 5.3.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Развернем $\ln (e^{- V})$ , вынося $- V$ из логарифма.

$- V \ln (e) = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Этап 5.3.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- V \cdot 1 = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Этап 5.3.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$

Этап 5.3.4

Разделим каждый член $- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Разделим каждый член $- V = \ln (- \ln (| x |) - C)$ на $- 1$ .

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Этап 5.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{V}{1} = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Этап 5.3.4.2.2

Разделим $V$ на $1$ .

$V = \frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$

Этап 5.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (- \ln (| x |) - C)}{- 1}$ .

$V = - 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$

Этап 5.3.4.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \ln (- \ln (| x |) - C)$ в виде $- \ln (- \ln (| x |) - C)$ .

$V = - \ln (- \ln (| x |) - C)$

Этап 5.4

Упростим постоянную интегрирования.

$V = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

Этап 6

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$

Этап 7

Решим $\frac{y}{x} = - \ln (- \ln (| x |) + C)$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = - \ln (- \ln (| x |) + C) x$

Этап 7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Изменим порядок множителей в $- \ln (- \ln (| x |) + C) x$ .

$y = - x \ln (- \ln (| x |) + C)$