Математический анализ Примеры

$\frac{z + 5}{4 z + 19} d z = d y$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{z + 5}{4 z + 19} d z$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{z + 5}{4 z + 19} d z$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{z + 5}{4 z + 19} d z$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим $z + 5$ на $4 z + 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$4 z$

$19$

$z$

$5$

Этап 2.3.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $z$ на член с максимальной степенью в делителе $4 z$ .

					$\frac{1}{4}$
	$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$

Этап 2.3.1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$\frac{1}{4}$
$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$
			+	$z$	+	$\frac{19}{4}$

Этап 2.3.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $z + \frac{19}{4}$ .

				$\frac{1}{4}$
$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$
			-	$z$	-	$\frac{19}{4}$

Этап 2.3.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$\frac{1}{4}$
$4 z$	+	$19$		$z$	+	$5$
			-	$z$	-	$\frac{19}{4}$
					+	$\frac{1}{4}$

Этап 2.3.1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (4 z + 19)} d z$

Этап 2.3.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{4} d z + \int \frac{1}{4 (4 z + 19)} d z$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \int \frac{1}{4 (4 z + 19)} d z$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 z + 19} d z$

Этап 2.3.5

Пусть $u = 4 z + 19$ . Тогда $d u = 4 d z$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d z$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u = 4 z + 19$ . Найдем $\frac{d u}{d z}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем $4 z + 19$ .

$\frac{d}{d z} [4 z + 19]$

Этап 2.3.5.1.2

По правилу суммы производная $4 z + 19$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [19]$ .

$\frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [19]$

Этап 2.3.5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d z} [4 z]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $z$ , производная $4 z$ по $z$ равна $4 \frac{d}{d z} [z]$ .

$4 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [19]$

Этап 2.3.5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [19]$

Этап 2.3.5.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d z} [19]$

Этап 2.3.5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.4.1

Поскольку $19$ является константой относительно $z$ , производная $19$ относительно $z$ равна $0$ .

$4 + 0$

Этап 2.3.5.1.4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Этап 2.3.6.2

Перенесем $4$ влево от $u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 u} d u$

Этап 2.3.7

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 2.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.8.2

Умножим $4$ на $4$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.9

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + C_{2} + \frac{1}{16} (\ln (| u |) + C_{3})$

Этап 2.3.10

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + \frac{1}{16} \ln (| u |) + C_{4}$

Этап 2.3.11

Заменим все вхождения $u$ на $4 z + 19$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} z + \frac{1}{16} \ln (| 4 z + 19 |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = \frac{1}{4} z + \frac{1}{16} \ln (| 4 z + 19 |) + C$