Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 x y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 x} \cdot \frac{1}{y}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{1}{5 x} \cdot \frac{1}{y})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{1}{5 x} \cdot \frac{1}{y})$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{5 x}$ на $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{1}{5 x y}$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{1}{5 x y}$

Этап 1.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $5 x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{1}{y (5 x)}$

Этап 1.3.3.3

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{1}{y (5 x)}$

Этап 1.3.3.4

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 x}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$y d y = - \frac{1}{5 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int - \frac{1}{5 x} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{5 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{5 x} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 2.3.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{5} (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{5} \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{5} \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- \frac{1}{5} \ln (| x |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\ln (| x |)$ и $\frac{1}{5}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{\ln (| x |)}{5} + C)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (- \frac{\ln (| x |)}{5}) + 2 C$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $2 (- \frac{\ln (| x |)}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{\ln (| x |)}{5} + 2 C$

Этап 3.2.2.1.3.2

Объединим $- 2$ и $\frac{\ln (| x |)}{5}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 \ln (| x |)}{5} + 2 C$

Этап 3.2.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{2 \ln (| x |)}{5} + 2 C$

Этап 3.3

Упростим $2 \ln (| x |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$y^{2} = - \frac{\ln ({| x |}^{2})}{5} + 2 C$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{\ln ({| x |}^{2})}{5} + 2 C}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{\ln ({| x |}^{2})}{5} + 2 C}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $\frac{\ln ({| x |}^{2})}{5}$ в виде $\frac{1}{5} \ln ({| x |}^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{- (\frac{1}{5} \ln ({| x |}^{2})) + 2 C}$

Этап 3.5.2

Упростим $\frac{1}{5} \ln ({| x |}^{2})$ путем переноса $\frac{1}{5}$ под логарифм.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({({| x |}^{2})}^{\frac{1}{5}}) + 2 C}$

Этап 3.5.3

Перемножим экспоненты в ${({| x |}^{2})}^{\frac{1}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{2 (\frac{1}{5})}) + 2 C}$

Этап 3.5.3.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + 2 C}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln ({| x |}^{\frac{2}{5}}) + C}$