Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{3} y$ , $(1, 1)$

Этап 1

Предположим, что $\frac{d y}{d x} = f (x, y)$ .

Этап 2

Проверим непрерывность функции в окрестности $(1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим значения $(1, 1)$ в $\frac{d y}{d x} = 2 x^{3} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$2 \cdot 1^{3} y$

Этап 2.1.2

Подставим $1$ вместо $y$ .

$2 \cdot 1^{3} \cdot 1$

Этап 2.2

Поскольку здесь нет логарифма с отрицательным или нулевым аргументом, нет корня четной степени с нулевым или отрицательным подкоренным выражением и нет дроби с нулевым знаменателем, это непрерывная функция на открытом интервале в окрестности значения $x$ точки $(1, 1)$ .

Непрерывные

Этап 3

Найдем частную производную по $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим частную производную.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} y]$

Этап 3.2

Поскольку $2 x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $2 x^{3} y$ по $y$ равна $2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3} \cdot 1$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{3}$

Этап 4

Проверим непрерывность частной производной по $y$ в окрестности $(1, 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Непрерывные

Этап 5

И функция, и ее частная производная по $y$ непрерывны на открытом интервале в окрестности значения $x$ точки $(1, 1)$ .

Одно единственное решение