Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Этап 1

Пусть $v = \frac{d y}{d x}$ . Тогда $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Подставим $v$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $\frac{d v}{d x}$ вместо $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ , чтобы получить дифференциальное уравнение с зависимой переменной $v$ и независимой переменной $x$ .

$\frac{d v}{d x} + v = \cos (x)$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x + C_{1}}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = e^{x} \cos (x)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = e^{x} \cos (x)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int e^{x} \cos (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x} v = \int e^{x} \cos (x) d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Изменим порядок $e^{x}$ и $\cos (x)$ .

$e^{x} v = \int \cos (x) e^{x} d x$

Этап 7.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \cos (x)$ и $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x$

Этап 7.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Этап 7.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Этап 7.4.2

Умножим $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ на $1$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Этап 7.4.3

Изменим порядок $e^{x}$ и $\sin (x)$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \int \sin (x) e^{x} d x$

Этап 7.5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sin (x)$ и $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = \cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Этап 7.6

Найдя решение для $\int e^{x} \cos (x) d x$ , получим $\int e^{x} \cos (x) d x$ = $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2}$ .

$e^{x} v = \frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$

Этап 7.7

Перепишем $\frac{\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}}{2} + C_{2}$ в виде $\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ .

$e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ на $e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{x} v = \frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}) + C_{2}$ на $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $\cos (x) e^{x} + \sin (x) e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $\cos (x) e^{x}$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x})}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 8.3.1.1.1.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $\sin (x) e^{x}$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 8.3.1.1.1.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (e^{x} (\cos (x) + \sin (x)))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

$v = \frac{\frac{1}{2} e^{x} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 8.3.1.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{x}$ .

$v = \frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 8.3.1.2

Вынесем множитель $\frac{e^{x}}{2}$ из $\frac{\frac{e^{x}}{2} (\cos (x) + \sin (x))}{e^{x}}$ .

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 8.3.1.3

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$v = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{\cos (x) + \sin (x)}{e^{x}} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 8.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$v = \frac{1}{2} (\cos (x) + \sin (x)) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 8.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$v = \frac{1}{2} \cos (x) + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 8.3.1.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\cos (x)$ .

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{1}{2} \sin (x) + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 8.3.1.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (x)$ .

$v = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 9

Заменим все вхождения $v$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}$

Этап 10

Перепишем уравнение.

$d y = (\frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}}) d x$

Этап 11

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Этап 11.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} + \frac{\sin (x)}{2} + \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Этап 11.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{3} = \int \frac{\cos (x)}{2} d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Этап 11.3.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \int \cos (x) d x + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Этап 11.3.3

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \int \frac{\sin (x)}{2} d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Этап 11.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} \int \sin (x) d x + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Этап 11.3.5

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + \int \frac{C_{2}}{e^{x}} d x$

Этап 11.3.6

Поскольку $C_{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $C_{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Этап 11.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.7.1

Поменяем знак экспоненты $e^{x}$ и вынесем ее из знаменателя.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Этап 11.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.7.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.7.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Этап 11.3.7.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Этап 11.3.7.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int 1 e^{- x} d x$

Этап 11.3.7.2.2

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int e^{- x} d x$

Этап 11.3.8

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.8.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.8.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 11.3.8.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11.3.8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 11.3.8.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 11.3.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} \int - e^{u} d u$

Этап 11.3.9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- \int e^{u} d u)$

Этап 11.3.10

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{3} = \frac{1}{2} (\sin (x) + C_{4}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) + C_{5}) + C_{2} (- (e^{u} + C_{6}))$

Этап 11.3.11

Упростим.

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{u}) + C_{7}$

Этап 11.3.12

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$y + C_{3} = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

Этап 11.3.13

Изменим порядок членов.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) + C_{2} (- e^{- x}) + C_{7}$

Этап 11.3.14

Изменим порядок членов.

$y + C_{3} = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C_{2} + C_{7}$

Этап 11.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$y = \frac{1}{2} \sin (x) - \frac{1}{2} \cos (x) - e^{- x} C + D$