Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{10 y} - \frac{2 x}{5 y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы записать $- \frac{2 x}{5 y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{10 y} - \frac{2 x}{5 y} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 1.1.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $10 y$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Умножим $\frac{2 x}{5 y}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{10 y} - \frac{2 x \cdot 2}{5 y \cdot 2}$

Этап 1.1.2.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{10 y} - \frac{2 x \cdot 2}{10 y}$

Этап 1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 2 x \cdot 2}{10 y}$

Этап 1.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 x \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x - 2 x \cdot 2}{10 y}$

Этап 1.1.4.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x + x (- 2 \cdot 2)}{10 y}$

Этап 1.1.4.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 2 \cdot 2)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 2 \cdot 2)}{10 y}$

Этап 1.1.4.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 4)}{10 y}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x (x - 4)}{10 y}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $10 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x (x - 4)}{y \cdot 10}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x (x - 4)}{y \cdot 10}$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x (x - 4)}{10}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$y d y = \frac{x (x - 4)}{10} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{x (x - 4)}{10} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x (x - 4)}{10} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{10}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{10}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x (x - 4) d x$

Этап 2.3.2

Умножим $x (x - 4)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x \cdot x + x \cdot - 4 d x$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{1} x + x \cdot - 4 d x$

Этап 2.3.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{1} x^{1} + x \cdot - 4 d x$

Этап 2.3.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{1 + 1} + x \cdot - 4 d x$

Этап 2.3.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{2} + x \cdot - 4 d x$

Этап 2.3.3.5

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} \int x^{2} - 4 x d x$

Этап 2.3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\int x^{2} d x + \int - 4 x d x)$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 4 x d x)$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 4 \int x d x)$

Этап 2.3.7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}))$

Этап 2.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.8.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{1}{10} (\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}) + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{10} (\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2}) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{10} (- 2 x^{2}) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.3

Объединим.

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{10} (- 2 x^{2}) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 (5)} (- 2 x^{2}) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 (5)} (2 (- x^{2})) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.4.3

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 5} (2 (- x^{2})) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.4.4

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} + \frac{1}{5} (- x^{2}) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.5

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1 x^{3}}{10 \cdot 3} - \frac{x^{2}}{5} + K)$

Этап 3.2.2.1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.6.1

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{10 \cdot 3} - \frac{x^{2}}{5} + K)$

Этап 3.2.2.1.1.6.2

Умножим $10$ на $3$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{30} - \frac{x^{2}}{5} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{30} + 2 (- \frac{x^{2}}{5}) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $30$ .

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2 (15)} + 2 (- \frac{x^{2}}{5}) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.1.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{2 \cdot 15} + 2 (- \frac{x^{2}}{5}) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.1.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} = \frac{x^{3}}{15} + 2 (- \frac{x^{2}}{5}) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Умножим $2 (- \frac{x^{2}}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} = \frac{x^{3}}{15} - 2 \frac{x^{2}}{5} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x^{2}}{5}$ .

$y^{2} = \frac{x^{3}}{15} + \frac{- 2 x^{2}}{5} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = \frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2}}{5} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2}}{5} + 2 K}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2}}{5} + 2 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы записать $- \frac{2 x^{2}}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2}}{5} \cdot \frac{3}{3} + 2 K}$

Этап 3.4.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $15$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $\frac{2 x^{2}}{5}$ на $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2} \cdot 3}{5 \cdot 3} + 2 K}$

Этап 3.4.2.2

Умножим $5$ на $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3}}{15} - \frac{2 x^{2} \cdot 3}{15} + 2 K}$

Этап 3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} - 2 x^{2} \cdot 3}{15} + 2 K}$

Этап 3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3} - 2 x^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 3}{15} + 2 K}$

Этап 3.4.4.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 2 x^{2} \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} x + x^{2} (- 2 \cdot 3)}{15} + 2 K}$

Этап 3.4.4.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} x + x^{2} (- 2 \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 2 \cdot 3)}{15} + 2 K}$

Этап 3.4.4.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 6)}{15} + 2 K}$

Этап 3.4.5

Чтобы записать $2 K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 6)}{15} + 2 K \cdot \frac{15}{15}}$

Этап 3.4.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Объединим $2 K$ и $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 6)}{15} + \frac{2 K \cdot 15}{15}}$

Этап 3.4.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} (x - 6) + 2 K \cdot 15}{15}}$

Этап 3.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot - 6 + 2 K \cdot 15}{15}}$

Этап 3.4.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 6 + 2 K \cdot 15}{15}}$

Этап 3.4.7.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6 + 2 K \cdot 15}{15}}$

Этап 3.4.7.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} + x^{2} \cdot - 6 + 2 K \cdot 15}{15}}$

Этап 3.4.7.3

Перенесем $- 6$ влево от $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} - 6 \cdot x^{2} + 2 K \cdot 15}{15}}$

Этап 3.4.7.4

Умножим $15$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}{15}}$

Этап 3.4.8

Перепишем $\sqrt{\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}{15}}$ в виде $\frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}}$

Этап 3.4.9

Умножим $\frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}}$ на $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Этап 3.4.10

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1

Умножим $\frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K}}{\sqrt{15}}$ на $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Этап 3.4.10.2

Возведем $\sqrt{15}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}}$

Этап 3.4.10.3

Возведем $\sqrt{15}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}}$

Этап 3.4.10.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.10.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Этап 3.4.10.6

Перепишем ${\sqrt{15}}^{2}$ в виде $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{15}$ в виде $15^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.10.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.10.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.10.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.10.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15^{1}}$

Этап 3.4.10.6.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{3} - 6 x^{2} + 30 K} \sqrt{15}}{15}$

Этап 3.4.11

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{3} - 6 x^{2} + 30 K) \cdot 15}}{15}$

Этап 3.4.12

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(x^{3} - 6 x^{2} + 30 K) \cdot 15}}{15}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + 30 K)}}{15}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + K)}}{15}$

$y = - \frac{\sqrt{15 (x^{3} - 6 x^{2} + K)}}{15}$