Математический анализ Примеры

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + y + 3 = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Изменим порядок множителей в $\cos (x) \frac{d y}{d x} + y + 3$ .

$\frac{d y}{d x} \cos (x) + y + 3 = 0$

Этап 1.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} \cos (x) + 3 = - y$

Этап 1.1.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$

Этап 1.1.3

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$ на $\cos (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} \cos (x) = - y - 3$ на $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Этап 1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Этап 1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{\cos (x)} + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Разделим дроби.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{y}{1} \sec (x)) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Этап 1.1.3.3.1.4

Разделим $y$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - (y \sec (x)) + \frac{- 3}{\cos (x)}$

Этап 1.1.3.3.1.5

Разделим дроби.

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 1.1.3.3.1.6

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) + \frac{- 3}{1} \sec (x)$

Этап 1.1.3.3.1.7

Разделим $- 3$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - y \sec (x) - 3 \sec (x)$

Этап 1.2

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $- y \sec (x) - 3 \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $- y \sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y) - 3 \sec (x)$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $- 3 \sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y) + \sec (x) \cdot - 3$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) (- y) + \sec (x) \cdot - 3$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) (- y - 3)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{- y - 3}$ .

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} (\sec (x) (- y - 3))$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $- y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $- y - 3$ из $\sec (x) (- y - 3)$ .

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} ((- y - 3) \sec (x))$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y - 3} ((- y - 3) \sec (x))$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- y - 3} \frac{d y}{d x} = \sec (x)$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{- y - 3} d y = \sec (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{- y - 3} d y = \int \sec (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = - y - 3$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = - y - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Этап 2.2.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \sec (x) d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \sec (x) d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \sec (x) d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $- y - 3$ .

$- \ln (| - y - 3 |) + C_{1} = \int \sec (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\sec (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- \ln (| - y - 3 |) + C_{1} = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| - y - 3 |) = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| - y - 3 |) - \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) = C$

Этап 3.2

Добавим $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ к обеим частям уравнения.

$- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- \ln (| - y - 3 |) = C + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y - 3 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| - y - 3 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Этап 3.3.2.2

Разделим $\ln (| - y - 3 |)$ на $1$ .

$\ln (| - y - 3 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Этап 3.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C + \frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$

Этап 3.3.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)}{- 1}$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C - 1 \cdot \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Этап 3.3.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ в виде $- \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| - y - 3 |) = - C - \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Этап 3.4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| - y - 3 |) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) = - C$

Этап 3.5

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - y - 3 | | \sec (x) + \tan (x) |) = - C$

Этап 3.6

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| (- y - 3) (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Этап 3.7

Развернем $(- y - 3) (\sec (x) + \tan (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| - y (\sec (x) + \tan (x)) - 3 (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Этап 3.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 (\sec (x) + \tan (x)) |) = - C$

Этап 3.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |) = - C$

Этап 3.8

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |)} = e^{- C}$

Этап 3.9

Перепишем $\ln (| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |) = - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) |$

Этап 3.10

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Перепишем уравнение в виде $| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) | = e^{- C}$ .

$| - y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) | = e^{- C}$

Этап 3.10.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$- y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \sec (x) - 3 \tan (x) = \pm e^{- C}$

Этап 3.10.3

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1

Добавим $3 \sec (x)$ к обеим частям уравнения.

$- y \sec (x) - y \tan (x) - 3 \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x)$

Этап 3.10.3.2

Добавим $3 \tan (x)$ к обеим частям уравнения.

$- y \sec (x) - y \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Этап 3.10.4

Вынесем множитель $y$ из $- y \sec (x) - y \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.4.1

Вынесем множитель $y$ из $- y \sec (x)$ .

$y (- 1 \sec (x)) - y \tan (x) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Этап 3.10.4.2

Вынесем множитель $y$ из $- y \tan (x)$ .

$y (- 1 \sec (x)) + y (- 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Этап 3.10.4.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- 1 \sec (x)) + y (- 1 \tan (x))$ .

$y (- 1 \sec (x) - 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Этап 3.10.5

Перепишем $- 1 \sec (x)$ в виде $- \sec (x)$ .

$y (- \sec (x) - 1 \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Этап 3.10.6

Перепишем $- 1 \tan (x)$ в виде $- \tan (x)$ .

$y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$

Этап 3.10.7

Разделим каждый член $y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$ на $- \sec (x) - \tan (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.7.1

Разделим каждый член $y (- \sec (x) - \tan (x)) = \pm e^{- C} + 3 \sec (x) + 3 \tan (x)$ на $- \sec (x) - \tan (x)$ .

$\frac{y (- \sec (x) - \tan (x))}{- \sec (x) - \tan (x)} = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Этап 3.10.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.7.2.1

Сократим общий множитель $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (- \sec (x) - \tan (x))}{- \sec (x) - \tan (x)} = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Этап 3.10.7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Этап 3.10.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.7.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.7.3.1.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x)) - \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Этап 3.10.7.3.1.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x)) - (\tan (x))} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Этап 3.10.7.3.1.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x) + \tan (x))} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Этап 3.10.7.3.1.2

Упростим $\frac{\pm e^{- C}}{- (\sec (x) + \tan (x))}$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- \sec (x) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Этап 3.10.7.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.7.3.1.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x)) - \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Этап 3.10.7.3.1.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x)) - (\tan (x))} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Этап 3.10.7.3.1.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \sec (x)}{- (\sec (x) + \tan (x))} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Этап 3.10.7.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- \sec (x) - \tan (x)}$

Этап 3.10.7.3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec (x) - \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.7.3.1.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x)) - \tan (x)}$

Этап 3.10.7.3.1.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \tan (x)$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x)) - (\tan (x))}$

Этап 3.10.7.3.1.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sec (x)) - (\tan (x))$ .

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{3 \tan (x)}{- (\sec (x) + \tan (x))}$

Этап 3.10.7.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{\pm e^{- C}}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Этап 3.10.7.3.2

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.7.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 3 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Этап 3.10.7.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{- C} - 3 \sec (x) - 3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C - 3 \sec (x) - 3 \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$