Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + y = x y^{3}$

Этап 1

Чтобы решить дифференциальное уравнение, пусть $v = y^{1 - n}$ , где $n$ — показатель степени $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Этап 2

Решим уравнение относительно $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Этап 3

Возьмем производную $y$ по $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Этап 4

Возьмем производную $v^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возьмем производную от $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1$ и $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.4.2

Перемножим экспоненты в ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Этап 4.5

Упростим.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Этап 4.6

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Этап 4.6.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Умножим $v^{\frac{1}{2}}$ на $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Этап 4.6.2.2

Вычтем $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ из $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Этап 4.6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.14

Перенесем $v^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Этап 4.15

Перепишем $\frac{d}{d x} [v]$ в виде $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Этап 4.16

Объединим $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ и $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Этап 4.17

Перепишем $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ в виде произведения.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Этап 4.18

Умножим $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Этап 4.19

Возведем $v$ в степень $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Этап 4.20

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 4.21

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 4.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 4.23

Добавим $2$ и $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5

Подставим $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $v^{- \frac{1}{2}}$ вместо $y$ в исходное уравнение $\frac{d y}{d x} + y = x y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Каждый член в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ умножим на $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим каждый член $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ на $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 6.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1

Сократим общий множитель $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ в числитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 6.1.2.1.1.2

Вынесем множитель $2 v^{\frac{3}{2}}$ из $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 6.1.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 6.1.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 6.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 6.1.2.1.3

Умножим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 6.1.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{- \frac{1}{2}} v^{\frac{3}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 6.1.2.1.5

Умножим $v^{- \frac{1}{2}}$ на $v^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1.5.1

Перенесем $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 6.1.2.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 6.1.2.1.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{3 - 1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 6.1.2.1.5.4

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{\frac{2}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 6.1.2.1.5.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v^{1} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 6.1.2.1.6

Упростим $- 1 \cdot 2 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 2 v = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 6.1.2.1.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Этап 6.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 1 \cdot 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.1.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.1.3.3

Перемножим экспоненты в ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.1.3.3.2

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.3.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.1.3.3.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.1.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Этап 6.1.3.4

Умножим $v^{- \frac{3}{2}}$ на $v^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.4.1

Перенесем $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

Этап 6.1.3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

Этап 6.1.3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{3 - 3}{2}}$

Этап 6.1.3.4.4

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{\frac{0}{2}}$

Этап 6.1.3.4.5

Разделим $0$ на $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x v^{0}$

Этап 6.1.3.5

Упростим $- 2 x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 v = - 2 x$

Этап 6.2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int - 2 d x}$

Этап 6.2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{- 2 x + C}$

Этап 6.2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 2 x}$

Этап 6.3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим каждый член на $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 v) = e^{- 2 x} (- 2 x)$

Этап 6.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} (- 2 x)$

Этап 6.3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = - 2 e^{- 2 x} x$

Этап 6.3.4

Изменим порядок множителей в $e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- 2 x} v = - 2 e^{- 2 x} x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d v}{d x} - 2 v e^{- 2 x} = - 2 x e^{- 2 x}$

Этап 6.4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} v] = - 2 x e^{- 2 x}$

Этап 6.5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} v] d x = \int - 2 x e^{- 2 x} d x$

Этап 6.6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{- 2 x} v = \int - 2 x e^{- 2 x} d x$

Этап 6.7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} v = - 2 \int x e^{- 2 x} d x$

Этап 6.7.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Этап 6.7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.3.1

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Этап 6.7.3.2

Объединим $x$ и $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x)$

Этап 6.7.3.3

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Этап 6.7.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Этап 6.7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Этап 6.7.5.2

Умножим $\int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ на $1$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x)$

Этап 6.7.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Этап 6.7.7

Пусть $u = - 2 x$ . Тогда $d u = - 2 d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.7.1

Пусть $u = - 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.7.1.1

Дифференцируем $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 6.7.7.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.7.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Этап 6.7.7.1.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2$

Этап 6.7.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Этап 6.7.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Этап 6.7.8.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Этап 6.7.9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Этап 6.7.10

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Этап 6.7.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.11.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Этап 6.7.11.2

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Этап 6.7.12

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Этап 6.7.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.13.1

Перепишем $- 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ в виде $- 2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Этап 6.7.13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.13.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Этап 6.7.13.2.2

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{x}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Этап 6.7.13.2.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Этап 6.7.14

Заменим все вхождения $u$ на $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Этап 6.7.15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- 2 x} v = - 2 (- \frac{e^{- 2 x} x}{2}) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Этап 6.7.15.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.15.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{- 2 x} x}{2}$ в числитель.

$e^{- 2 x} v = - 2 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Этап 6.7.15.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$e^{- 2 x} v = 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Этап 6.7.15.2.3

Сократим общий множитель.

$e^{- 2 x} v = 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x} x}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Этап 6.7.15.2.4

Перепишем это выражение.

$e^{- 2 x} v = - (- e^{- 2 x} x) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Этап 6.7.15.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- 2 x} v = 1 (e^{- 2 x} x) - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Этап 6.7.15.4

Умножим $e^{- 2 x}$ на $1$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - 2 (- \frac{e^{- 2 x}}{4}) + C$

Этап 6.7.15.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.15.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{- 2 x}}{4}$ в числитель.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - 2 \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Этап 6.7.15.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 x}}{4} + C$

Этап 6.7.15.5.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Этап 6.7.15.5.4

Сократим общий множитель.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Этап 6.7.15.5.5

Перепишем это выражение.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - \frac{- e^{- 2 x}}{2} + C$

Этап 6.7.15.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.15.6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x - - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Этап 6.7.15.6.2

Умножим $- - \frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.15.6.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + 1 \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Этап 6.7.15.6.2.2

Умножим $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ на $1$ .

$e^{- 2 x} v = e^{- 2 x} x + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Этап 6.7.15.7

Объединим $e^{- 2 x} x$ и $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.15.7.1

Изменим порядок $e^{- 2 x}$ и $x$ .

$e^{- 2 x} v = x e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Этап 6.7.15.7.2

Чтобы записать $x e^{- 2 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Этап 6.7.15.7.3

Объединим $x e^{- 2 x}$ и $\frac{2}{2}$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

Этап 6.7.15.7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{- 2 x} v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}}{2} + C$

Этап 6.7.15.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.15.8.1

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.15.8.1.1

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x}}{2} + C$

Этап 6.7.15.8.1.2

Умножим на $1$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2} + C$

Этап 6.7.15.8.1.3

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Этап 6.7.15.8.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$e^{- 2 x} v = \frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C$

$e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x + 1) + C$

Этап 6.8

Разделим каждый член $e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C$ на $e^{- 2 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Разделим каждый член $e^{- 2 x} v = \frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C$ на $e^{- 2 x}$ .

$\frac{e^{- 2 x} v}{e^{- 2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Сократим общий множитель $e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{- 2 x} v}{e^{- 2 x}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.2.1.2

Разделим $v$ на $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1))}{e^{- 2 x}} + \frac{C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x + 1)) + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1) + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot 1) + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.2.3

Умножим $e^{- 2 x}$ на $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} \cdot (2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}) + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 e^{- 2 x} x) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{- 2 x} x$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{- 2 x} x)) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.2.5.2

Сократим общий множитель.

$v = \frac{\frac{1}{2} (2 (e^{- 2 x} x)) + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.2.5.3

Перепишем это выражение.

$v = \frac{e^{- 2 x} x + \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.2.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{- 2 x}$ .

$v = \frac{e^{- 2 x} x + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.2.7

Объединим $e^{- 2 x} x$ и $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ , используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.2.7.1

Изменим порядок $e^{- 2 x}$ и $x$ .

$v = \frac{x e^{- 2 x} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.2.7.2

Чтобы записать $x e^{- 2 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{x e^{- 2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.2.7.3

Объединим $x e^{- 2 x}$ и $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.2.7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$v = \frac{\frac{x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.2.8.1

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $x e^{- 2 x} \cdot 2 + e^{- 2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.2.8.1.1

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $x e^{- 2 x} \cdot 2$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x}}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.2.8.1.2

Умножим на $1$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.2.8.1.3

Вынесем множитель $e^{- 2 x}$ из $e^{- 2 x} (x \cdot 2) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (x \cdot 2 + 1)}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.2.8.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.3

Чтобы записать $C$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.4.1

Объединим $C$ и $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x + 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v = \frac{\frac{e^{- 2 x} (2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.5.3

Умножим $e^{- 2 x}$ на $1$ .

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.5.4

Перенесем $2$ влево от $C$ .

$v = \frac{\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + 2 C}{2}}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.6

Изменим порядок множителей в $\frac{2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x} + 2 C}{2}$ .

$v = \frac{\frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2}}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$v = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{- 2 x}}$

Этап 6.8.3.8

Умножим $\frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2}$ на $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ .

$v = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2 e^{- 2 x}}$

Этап 7

Подставим $y^{- 2}$ вместо $v$ .

$y^{- 2} = \frac{2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} + 2 C}{2 e^{- 2 x}}$