Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - 1 = 2 x - \frac{1}{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перенесем все члены без $\frac{d y}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} = 2 x - \frac{1}{2} + 1$

Этап 1.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = 2 x - \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Этап 1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{- 1 + 2}{2}$

Этап 1.1.4

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{1}{2}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = (2 x + \frac{1}{2}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 2 x + \frac{1}{2} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 2 x + \frac{1}{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 2 x d x + \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 \int x d x + \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{1}{2} d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \frac{1}{2} x + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{1}{2} x + C_{3}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$y + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{2} x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = x^{2} + \frac{1}{2} x + K$