Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + y = 2 + 2 x$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d x}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \cdot 2 + e^{x} (2 x)$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $2$ влево от $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 2 \cdot e^{x} + e^{x} (2 x)$

Этап 2.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 2 e^{x} + 2 e^{x} x$

Этап 2.3

Изменим порядок множителей в $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 2 e^{x} + 2 e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = 2 e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = 2 e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int 2 e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x} y = \int 2 e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{x} y = \int 2 e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 6.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{x} y = 2 \int e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 6.3

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{x} y = 2 (e^{x} + C) + \int 2 x e^{x} d x$

Этап 6.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{x} y = 2 (e^{x} + C) + 2 \int x e^{x} d x$

Этап 6.5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = 2 (e^{x} + C) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Этап 6.6

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{x} y = 2 (e^{x} + C) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Этап 6.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Упростим.

$e^{x} y = 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$

Этап 6.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Вычтем $2 e^{x}$ из $2 e^{x}$ .

$e^{x} y = 2 x e^{x} + 0 + C$

Этап 6.7.2.2

Добавим $2 x e^{x}$ и $0$ .

$e^{x} y = 2 x e^{x} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{x} y = 2 x e^{x} + C$ на $e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{x} y = 2 x e^{x} + C$ на $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3.1.2

Разделим $2 x$ на $1$ .

$y = 2 x + \frac{C}{e^{x}}$