Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - y = \frac{1}{y^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} + y$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} (\frac{1}{y^{2}} + y)$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $\frac{1}{y^{2}} + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} (\frac{1}{y^{2}} + y)$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + y} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Чтобы записать $y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{y^{2}} + \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int \frac{1}{\frac{1 + y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y \cdot y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.1.3.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.2.1

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.2.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{1} y^{2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.1.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{1 + 2}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.1.3.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{1^{3} + y^{3}}{y^{2}}} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.1.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 1$ и $b = y$ .

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1^{2} - 1 y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.1.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1 - 1 y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.1.3.4.2

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\int \frac{1}{\frac{(1 + y) (1 - y + y^{2})}{y^{2}}} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\int 1 \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int d x$

Этап 2.2.1.3

Умножим $\frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})}$ на $1$ .

$\int \frac{y^{2}}{(1 + y) (1 - y + y^{2})} d y = \int d x$

Этап 2.2.2

Пусть $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . Тогда $d u = 3 y^{2} d y$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Пусть $u = (1 + y) (1 - y + y^{2})$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Дифференцируем $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y + y^{2})]$

Этап 2.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = 1 + y$ и $g (y) = 1 - y + y^{2}$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y + y^{2}] + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.3.1

По правилу суммы производная $1 - y + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.2.1.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.2.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.2.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.2.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.2.1.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(1 + y) (- 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.2.1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Этап 2.2.2.1.3.8

По правилу суммы производная $1 + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.2.2.1.3.9

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.2.2.1.3.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.2.1.3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + (1 - y + y^{2}) \cdot 1$

Этап 2.2.2.1.3.12

Умножим $1 - y + y^{2}$ на $1$ .

$(1 + y) (- 1 + 2 y) + 1 - y + y^{2}$

Этап 2.2.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Этап 2.2.2.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + (1 + y) (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Этап 2.2.2.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot - 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Этап 2.2.2.1.4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.4.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + y \cdot - 1 + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Этап 2.2.2.1.4.4.2

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$- 1 - 1 \cdot y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Этап 2.2.2.1.4.4.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$- 1 - y + 1 (2 y) + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Этап 2.2.2.1.4.4.4

Умножим $2$ на $1$ .

$- 1 - y + 2 y + y (2 y) + 1 - y + y^{2}$

Этап 2.2.2.1.4.4.5

Возведем $y$ в степень $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y) + 1 - y + y^{2}$

Этап 2.2.2.1.4.4.6

Возведем $y$ в степень $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 (y^{1} y^{1}) + 1 - y + y^{2}$

Этап 2.2.2.1.4.4.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{1 + 1} + 1 - y + y^{2}$

Этап 2.2.2.1.4.4.8

Добавим $1$ и $1$ .

$- 1 - y + 2 y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

Этап 2.2.2.1.4.4.9

Добавим $- y$ и $2 y$ .

$- 1 + y + 2 y^{2} + 1 - y + y^{2}$

Этап 2.2.2.1.4.4.10

Добавим $- 1$ и $1$ .

$y + 2 y^{2} + 0 - y + y^{2}$

Этап 2.2.2.1.4.4.11

Добавим $y + 2 y^{2}$ и $0$ .

$y + 2 y^{2} - y + y^{2}$

Этап 2.2.2.1.4.4.12

Вычтем $y$ из $y$ .

$2 y^{2} + 0 + y^{2}$

Этап 2.2.2.1.4.4.13

Добавим $2 y^{2}$ и $0$ .

$2 y^{2} + y^{2}$

Этап 2.2.2.1.4.4.14

Добавим $2 y^{2}$ и $y^{2}$ .

$3 y^{2}$

Этап 2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

Этап 2.2.3.2

Перенесем $3$ влево от $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |) = x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |)) = 3 (x + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} \ln (| (1 + y) (1 - y + y^{2}) |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Развернем $(1 + y) (1 - y + y^{2})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 (- y) + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.2

Умножим $- y$ на $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + 1 y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.3

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y \cdot 1 + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.4

Умножим $y$ на $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y + y (- y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y \cdot y + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.6

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1.6.1

Перенесем $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - (y \cdot y) + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.6.2

Умножим $y$ на $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y \cdot y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.7

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1.7.1

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1.7.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1} y^{2} |)) = 3 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{1 + 2} |)) = 3 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.1.7.2

Добавим $1$ и $2$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.2.1

Объединим противоположные члены в $1 - y + y^{2} + y - y^{2} + y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.2.1.1

Добавим $- y$ и $y$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2.1.2

Добавим $1 + y^{2}$ и $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2.1.3

Вычтем $y^{2}$ из $y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2.1.4

Добавим $1$ и $0$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{3} |)) = 3 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\ln (| 1 + y^{3} |)$ .

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{\ln (| 1 + y^{3} |)}{3} = 3 (x + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 (x + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 x + 3 C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 1 + y^{3} |)} = e^{3 x + 3 C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (| 1 + y^{3} |) = 3 x + 3 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{3 x + 3 C} = | 1 + y^{3} |$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $| 1 + y^{3} | = e^{3 x + 3 C}$ .

$| 1 + y^{3} | = e^{3 x + 3 C}$

Этап 3.5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{3} = \pm e^{3 x + 3 C}$

Этап 3.5.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y^{3} = \pm e^{3 x + 3 C} - 1$

Этап 3.5.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x + 3 C} - 1}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x + C} - 1}$

Этап 4.2

Перепишем $e^{3 x + C}$ в виде $e^{3 x} e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{3 x} e^{C} - 1}$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{3 x}$ и $e^{C}$ .

$y = \sqrt[3]{\pm e^{C} e^{3 x} - 1}$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \sqrt[3]{C e^{3 x} - 1}$